Question

Si la gráfica de $x^2+y^2=m$ es tangente a la de $x+y=\sqrt{2m},$ entonces:

If the graph of $x^2+y^2=m$ is tangent to that of $x+y=\sqrt{2m},$ then:

$m$ debe ser igual a $\dfrac12$

$m$ must equal $\dfrac12$

$m$ debe ser igual a $\dfrac1{\sqrt2}$

$m$ must equal $\dfrac1{\sqrt2}$

$m$ debe ser igual a $\sqrt2$

$m$ must equal $\sqrt2$

$m$ debe ser igual a $2$

$m$ must equal $2$

$m$ puede ser cualquier número real no negativo

$m$ may be any nonnegative real number

Respuesta: E

Conceptos:círculo fórmula de la distancia recta tangente

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

El círculo tiene centro en el origen y radio $\sqrt m$

The circle has center the origin and radius $\sqrt m$

Pista grande:

Calcula la distancia del origen a $x+y-\sqrt{2m}=0$

Find the distance from the origin to $x+y-\sqrt{2m}=0$

Solución:

El círculo tiene radio $\sqrt m.$ La distancia del origen a la recta es $\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.$ Por ello, la recta es tangente para todo $m\ge0$ (el caso $m=0$ degenera en el origen).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle has radius $\sqrt m.$ The distance from the origin to the line is $\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.$ Thus the line is tangent for every $m\ge0$ (with the $m=0$ case degenerate at the origin).

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años