Question

En el triángulo rectángulo $ABC$ , la hipotenusa $AB=5$ y el cateto $AC=3.$ La bisectriz del ángulo $A$ corta al lado opuesto en $A_1.$ Se construye entonces un segundo triángulo rectángulo $PQR$ , con hipotenusa $PQ=A_1B$ y cateto $PR=A_1C.$ Si la bisectriz del ángulo $P$ corta al lado opuesto en $P_1,$ la longitud de $PP_1$ es:

In right triangle $ABC$ the hypotenuse $AB=5$ and leg $AC=3.$ The bisector of angle $A$ meets the opposite side in $A_1.$ A second right triangle $PQR$ is then constructed with hypotenuse $PQ=A_1B$ and leg $PR=A_1C.$ If the bisector of angle $P$ meets the opposite side in $P_1,$ the length of $PP_1$ is:

$\dfrac{3\sqrt6}{4}$

$\dfrac{3\sqrt5}{4}$

$\dfrac{3\sqrt3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{15\sqrt2}{16}$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo teorema de la bisectriz semejanza

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Usa el teorema de la bisectriz en el triángulo $3$ - $4$ - $5$

Use the angle-bisector theorem in the $3$ - $4$ - $5$ triangle

Pista grande:

El segundo triángulo es una copia del primero a media escala

The second triangle is a half-scale copy of the first

Solución:

Como $BC=4,$ el teorema de la bisectriz da $A_1B:A_1C=5:3.$ Así, $A_1B=\frac{5}{2}$ y $A_1C=\frac{3}{2},$ por lo que el triángulo $PQR$ es una copia a media escala de $ABC.$

Para la bisectriz desde $A$ en el triángulo original, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ por lo que $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Así, $PP_1$ es la mitad, es decir, $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $BC=4,$ the angle-bisector theorem gives $A_1B:A_1C=5:3.$ Hence $A_1B=\frac{5}{2}$ and $A_1C=\frac{3}{2},$ so triangle $PQR$ is a half-scale copy of $ABC.$

For the angle bisector from $A$ in the original triangle, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ so $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Therefore $PP_1$ is half of this, or $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

1967 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años