Question

Se forma una “estrella de $n$ puntas” así: los lados de un polígono convexo se numeran consecutivamente $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ para los $n$ valores de $k,$ los lados $k$ y $k+2$ no son paralelos, y los lados $n+1$ y $n+2$ son respectivamente idénticos a los lados $1$ y $2;$ se prolongan los $n$ pares de lados numerados $k$ y $k+2$ hasta que se corten. (Se muestra una figura para el caso $n=5.$ )

Sea $S$ la suma en grados de los ángulos interiores en las $n$ puntas de la estrella; entonces $S$ es igual a:

An “ $n$ -pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ for all $n$ values of $k,$ sides $k$ and $k+2$ are non-parallel, sides $n+1$ and $n+2$ being respectively identical with sides $1$ and $2;$ prolong the $n$ pairs of sides numbered $k$ and $k+2$ until they meet. (A figure is shown for the case $n=5.$ )

Let $S$ be the degree-sum of the interior angles at the $n$ points of the star; then $S$ equals:

$180$

$360$

$180(n+2)$

$180(n-2)$

$180(n-4)$

Respuesta: E

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Relaciona cada ángulo de una punta con dos ángulos interiores adyacentes del polígono original

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

Pista grande:

La suma de los ángulos interiores del polígono original es $180(n-2)$ grados

The original polygon’s interior-angle sum is $180(n-2)$ degrees

Solución:

Sean $a_1,\ldots,a_n.$ los ángulos interiores del polígono original. El ángulo de la estrella formado por los lados $k$ y $k+2$ es $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Al sumar cíclicamente se cuenta cada $a_k$ dos veces. Por ello, $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the original polygon’s interior angles be $a_1,\ldots,a_n.$ The star angle made from sides $k$ and $k+2$ equals $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Summing cyclically counts each $a_k$ twice. Hence $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años