Question

Considera las afirmaciones:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

donde se permite que $a$ y $b$ sean números reales o complejos. Las afirmaciones que tienen soluciones distintas de $a=0$ y $b=0,$ son:

Consider the statements:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

where we allow $a$ and $b$ to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than $a=0$ and $b=0,$ are:

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

solo $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

solo $(\mathrm{I})$

$(\mathrm{I})$ only

Respuesta: A

Conceptos:número complejo contraejemplo radical

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Basta un ejemplo no nulo para cada afirmación

One nonzero example is enough for each statement

Pista grande:

Prueba $b=i$ para $(\mathrm{I}),$ valores positivos iguales para $(\mathrm{II}),$ y $b=0$ para $(\mathrm{III})$ y $(\mathrm{IV})$

Try $b=i$ for $(\mathrm{I}),$ equal positive values for $(\mathrm{II}),$ and $b=0$ for $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV})$

Solución:

Cada afirmación tiene una solución no nula. Para $(\mathrm{I}),$ usa $(a,b)=(1,i).$ Para $(\mathrm{II}),$ usa $a=b=\sqrt2,$ lo que da $\sqrt4=2=ab.$ Para $(\mathrm{III})$ y $(\mathrm{IV}),$ usa $(a,b)=(1,0).$ Por lo tanto, sirven las cuatro afirmaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every statement has a nonzero solution. For $(\mathrm{I}),$ use $(a,b)=(1,i).$ For $(\mathrm{II}),$ use $a=b=\sqrt2,$ giving $\sqrt4=2=ab.$ For both $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV}),$ use $(a,b)=(1,0).$ Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

1966 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años