Question

Si $a\pm bi$ $(b\ne0)$ son raíces imaginarias de la ecuación $x^3+qx+r=0,$ donde $a,$ $b,$ $q,$ y $r$ son números reales, entonces $q$ en función de $a$ y $b$ es:

If $a\pm bi$ $(b\ne0)$ are imaginary roots of the equation $x^3+qx+r=0,$ where $a,$ $b,$ $q,$ and $r$ are real numbers, then $q$ in terms of $a$ and $b$ is:

$a^2+b^2$

$2a^2-b^2$

$b^2-a^2$

$b^2-2a^2$

$b^2-3a^2$

Respuesta: E

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

El conjugado $a-bi$ es otra raíz

The conjugate $a-bi$ is another root

Pista grande:

Como el coeficiente de $x^2$ es cero, determina la tercera raíz y luego usa la suma de los productos por pares

Because the $x^2$ coefficient is zero, determine the third root and then use the sum of pairwise products

Solución:

La raíz conjugada es $a-bi.$ Como la suma de las tres raíces es $0,$ la tercera raíz es $-2a.$ Por las fórmulas de Vieta, $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The conjugate root is $a-bi.$ Since the sum of the three roots is $0,$ the third root is $-2a.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned} q&=(a+bi)(a-bi)\\ &\quad-2a(a+bi)\\ &\quad-2a(a-bi)\\ &=a^2+b^2-4a^2\\ &=b^2-3a^2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años