Question

Se eligen cuatro puntos distintos, $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ entre $1996$ puntos uniformemente espaciados alrededor de un círculo. Todos los cuádruples tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda $\overline{AB}$ corte a la cuerda $\overline{CD}$ ?

Four distinct points, $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ are to be selected from $1996$ points evenly spaced around a circle. All quadruples are equally likely to be chosen. What is the probability that the chord $\overline{AB}$ intersects the chord $\overline{CD}?$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac12$

$\frac23$

$\frac34$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica simetría

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Fija cuatro puntos cualesquiera y examina las tres maneras de emparejarlos para formar dos cuerdas

Fix any four selected points and examine the three ways to pair them into two chords

Pista grande:

Exactamente un emparejamiento une puntos alternados alrededor del círculo

Exactly one pairing joins alternating points around the circle

Solución:

Para cuatro puntos fijos, hay tres maneras de dividir sus rótulos en dos pares no ordenados de cuerdas. Exactamente un emparejamiento une puntos alternados alrededor del círculo y, por ello, se cruza. El par designado $\overline{AB},\overline{CD}$ tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de esos tres emparejamientos, así que la probabilidad es $\frac{1}{3}.$ La respuesta correcta es B.

For any fixed four points, there are three ways to partition their labels into two unordered chord pairs. Exactly one pairing joins alternating points around the circle and therefore crosses. The named pair $\overline{AB},\overline{CD}$ is equally likely to be any of these three pairings, so the probability is $\frac{1}{3}.$ The correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años