Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros positivos satisfacen $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ y $\text{lcm}(y,z)=900$ ?

How many ordered triples $(x,y,z)$ of positive integers satisfy $\text{lcm}(x,y)=72,$ $\text{lcm}(x,z)=600,$ and $\text{lcm}(y,z)=900?$

$15$

$16$

$24$

$27$

$64$

Solución:

Como $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ y $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ el factor $5^2$ divide a $z$ mientras que ni $x$ ni $y$ es divisible por $5.$ Además, $3^2$ divide a $y,$ mientras que ni $x$ ni $z$ es divisible por $3^2,$ y $x$ debe tener el factor $2^3.$

Escribiendo $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ y $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ las condiciones de lcm requieren $\max(j,n)=1$ y $\max(k,m)=2.$ Hay $3$ opciones para $(j,n)$ y $5$ opciones para $(k,m),$ lo que da $3\cdot5=15$ ternas ordenadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $\text{lcm}(x,y)=2^3\cdot3^2$ and $\text{lcm}(x,z)=2^3\cdot3\cdot5^2,$ the factor $5^2$ divides $z$ while neither $x$ nor $y$ is divisible by $5.$ Also $3^2$ divides $y,$ while neither $x$ nor $z$ is divisible by $3^2,$ and $x$ must have the factor $2^3.$

Writing $x=2^3\cdot3^{\,j},$ $y=2^{\,k}\cdot3^2,$ and $z=2^{\,m}\cdot3^{\,n}\cdot5^2,$ the lcm conditions require $\max(j,n)=1$ and $\max(k,m)=2.$ There are $3$ choices for $(j,n)$ and $5$ choices for $(k,m),$ giving $3\cdot5=15$ ordered triples.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años