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1976 AMC 12 Problema 22

Intenta el Problema 22 del 1976 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1976 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Dado un triángulo equilátero de lado s,s, considérese el lugar geométrico de todos los puntos PP del plano del triángulo tales que la suma de los cuadrados de las distancias de PP a los vértices del triángulo sea un número fijo a.a. Este lugar geométrico

Given an equilateral triangle with side of length s,s, consider the locus of all points PP in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from PP to the vertices of the triangle is a fixed number a.a. This locus

es un círculo si a>s2a\gt s^2

is a circle if a>s2a\gt s^2

contiene solo tres puntos si a=2s2a=2s^2 y es un círculo si a>2s2a\gt2s^2

contains only three points if a=2s2a=2s^2 and is a circle if a>2s2a\gt2s^2

es un círculo de radio positivo solo si s2<a<2s2s^2\lt a\lt2s^2

is a circle with positive radius only if s2<a<2s2s^2\lt a\lt2s^2

contiene solo una cantidad finita de puntos para cualquier valor de aa

contains only a finite number of points for any value of aa

no es ninguna de estas

is none of these

Respuesta: A
Conceptos:baricentrocírculofórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:

Sea GG el centroide y expresa la suma mediante PG2PG^2

Let GG be the centroid and express the sum using PG2PG^2

Pista grande:

Para un triángulo equilátero, la suma es 3PG2+s23PG^2+s^2

For an equilateral triangle, the sum equals 3PG2+s23PG^2+s^2

Solución:

Para los vértices A,A, B,B, y CC con centroide G,G, sea T=GA2+GB2+GC2.T=GA^2+GB^2+GC^2. La identidad del centroide da PA2+PB2+PC2=3PG2+T. PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T. En un triángulo equilátero, cada GA=s3,GA=\frac{s}{\sqrt3}, así que T=s2.T=s^2. Por tanto, 3PG2=a−s2.3PG^2=a-s^2. El lugar geométrico es vacío para a<s2,a\lt s^2, consta de un punto para a=s2,a=s^2, y es un círculo de radio positivo para a>s2.a\gt s^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For vertices A,A, B,B, and CC with centroid G,G, put T=GA2+GB2+GC2.T=GA^2+GB^2+GC^2. The standard centroid identity gives PA2+PB2+PC2=3PG2+T. PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T. In an equilateral triangle, each GA=s3,GA=\frac{s}{\sqrt3}, so T=s2.T=s^2. Hence 3PG2=a−s2.3PG^2=a-s^2. The locus is empty for a<s2,a\lt s^2, one point for a=s2,a=s^2, and a circle of positive radius for a>s2.a\gt s^2.

Therefore, the correct answer is A.

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