Question

Un palíndromo es un número entero no negativo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda cuando se escribe en base $10$ sin ceros a la izquierda. Se elige uniformemente al azar un palíndromo $n$ de $6$ dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que $\dfrac{n}{11}$ sea también un palíndromo?

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base $10$ with no leading zeros. A $6$ -digit palindrome $n$ is chosen uniformly at random. What is the probability that $\dfrac{n}{11}$ is also a palindrome?

$\dfrac{8}{25}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{11}{30}$

Respuesta: E

Conceptos:palíndromo probabilidad básica dígitos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Muestra que $m = \dfrac{n}{11}$ debe ser un palíndromo de $5$ dígitos $\overline{abcba}$ .

Show $m = \dfrac{n}{11}$ must be a $5$ -digit palindrome $\overline{abcba}$

Pista grande:

El producto $11m$ es un palíndromo exactamente cuando $a + b \le 9$ y $b + c \le 9;$ cuenta esos casos

The product $11m$ is a palindrome exactly when $a + b \le 9$ and $b + c \le 9;$ count those

Solución:

Sea $m= \frac{n}{11}.$ Si $m$ tuviera cuatro dígitos, entonces $n<110000,$ así que el primer y el último dígito del palíndromo de seis dígitos $n$ serían ambos $1.$ Esto obliga a que el primer y el último dígito del palíndromo $m$ también sean $1,$ de donde $m<2000$ y $n<22000,$ una contradicción. Por tanto, $m$ es un palíndromo de cinco dígitos $\overline{abcba}.$

Al escribir $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba},$ no hay acarreos exactamente cuando $a+b\le9$ y $b+c\le9;$ los dígitos resultantes son $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.$ Si $a+b\ge10,$ los dígitos inicial y final difieren; si solo $b+c\ge10,$ difiere el siguiente par. Así, las condiciones también son necesarias. La cantidad de $m$ válidos es $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

Hay $9\cdot 10^2 = 900$ palíndromos de seis dígitos, por lo que la probabilidad es $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $m= \frac{n}{11}.$ If $m$ had four digits, then $n<110000,$ so the first and last digits of the six-digit palindrome $n$ would both be $1.$ This forces the first and last digits of the palindromic $m$ to be $1,$ hence $m<2000$ and $n<22000,$ a contradiction. Therefore $m$ is a five-digit palindrome $\overline{abcba}.$

Writing $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba},$ no carries occur exactly when $a+b\le9$ and $b+c\le9;$ the resulting digits are $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.$ If $a+b\ge10,$ the leading and trailing digits differ; if only $b+c\ge10,$ the next pair differs. Thus the conditions are also necessary. The number of valid $m$ is $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

There are $9\cdot 10^2 = 900$ six-digit palindromes, so the probability is $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años