Question

Un palíndromo es un número entero no negativo que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda cuando se escribe en base $10$ sin ceros a la izquierda. Se elige uniformemente al azar un palíndromo $n$ de $6$ dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que $\dfrac{n}{11}$ sea también un palíndromo?

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base $10$ with no leading zeros. A $6$ -digit palindrome $n$ is chosen uniformly at random. What is the probability that $\dfrac{n}{11}$ is also a palindrome?

$\dfrac{8}{25}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{11}{30}$

Solución:

Sea $m = \dfrac{n}{11}$ . Un $m$ de $4$ dígitos lleva a una contradicción, así que $m$ es un palíndromo de $5$ dígitos $\overline{abcba}$ .

Escribiendo $n = 11m$ , no hay acarreos exactamente cuando $a + b \le 9$ y $b + c \le 9$ , y solo entonces $n$ es un palíndromo. El número de $m$ válidos es $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

Hay $9\cdot 10^2 = 900$ palíndromos de seis dígitos, así que la probabilidad es $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $m = \dfrac{n}{11}.$ A $4$ -digit $m$ leads to a contradiction, so $m$ is a $5$ -digit palindrome $\overline{abcba}.$

Writing $n = 11m,$ there are no carries exactly when $a + b \le 9$ and $b + c \le 9,$ and only then is $n$ a palindrome. The number of valid $m$ is $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

There are $9\cdot 10^2 = 900$ six-digit palindromes, so the probability is $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años