Question

Supón que las raíces del polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ son $\cos\tfrac{2\pi}{7}$ , $\cos\tfrac{4\pi}{7}$ , y $\cos\tfrac{6\pi}{7}$ , donde los ángulos están en radianes. ¿Cuánto vale $abc$ ?

Suppose that the roots of the polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ are $\cos\tfrac{2\pi}{7},$ $\cos\tfrac{4\pi}{7},$ and $\cos\tfrac{6\pi}{7},$ where angles are in radians. What is $abc?$

$-\dfrac{3}{49}$

$-\dfrac{1}{28}$

$\dfrac{\sqrt[3]{7}}{64}$

$\dfrac{1}{32}$

$\dfrac{1}{28}$

Solución:

Los números $\cos\tfrac{2\pi}{7}$ , $\cos\tfrac{4\pi}{7}$ , $\cos\tfrac{6\pi}{7}$ son las tres raíces de $8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0$ . Dividir entre $8$ lo pone en forma mónica: $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

Comparando coeficientes, $a = \tfrac12$ , $b = -\tfrac12$ , $c = -\tfrac18$ . Por lo tanto $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The numbers $\cos\tfrac{2\pi}{7},$ $\cos\tfrac{4\pi}{7},$ $\cos\tfrac{6\pi}{7}$ are the three roots of $8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0.$ Dividing by $8$ puts it in monic form: $x^3 + \tfrac12 x^2 - \tfrac12 x - \tfrac18 = 0.$

Matching coefficients, $a = \tfrac12,$ $b = -\tfrac12,$ $c = -\tfrac18.$ Therefore $abc = \tfrac12\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\left(-\tfrac18\right) = \tfrac{1}{32}.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años