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2010 AMC 12B Problema 22

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 22 del 2010 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:cuadrilátero cíclicoTeorema de Ptolomeooptimización

Nivel de dificultad: 2420

22.

Sea ABCDABCD un cuadrilátero cíclico. Las longitudes de los lados de ABCDABCD son enteros distintos menores que 1515 tales que BC⋅CD=AB⋅DA.BC\cdot CD=AB\cdot DA. ¿Cuál es el mayor valor posible de BDBD?

Let ABCDABCD be a cyclic quadrilateral. The side lengths of ABCDABCD are distinct integers less than 1515 such that BC⋅CD=AB⋅DA.BC\cdot CD=AB\cdot DA. What is the largest possible value of BD?BD?

3252\sqrt{\dfrac{325}{2}}

185\sqrt{185}

3892\sqrt{\dfrac{389}{2}}

4252\sqrt{\dfrac{425}{2}}

5332\sqrt{\dfrac{533}{2}}

Solución:

Sea a=AB,a=AB, b=BC,b=BC, c=CD,c=CD, d=DAd=DA y k=bc=ad.k=bc=ad. Escribiendo el área de cada triángulo en términos del circunradio y usando [ABC]+[CDA]=[ABC]+[CDA]= [BCD]+[ABD][BCD]+[ABD] se obtiene (ab+cd)⋅AC=2k⋅BD.(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.

El teorema de Ptolomeo da AC⋅BD=ac+bd.AC\cdot BD=ac+bd. Eliminando AC,AC, BD2=(ac+bd)(ab+cd)2k=12(a2+b2+c2+d2). \begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}

Los lados son enteros distintos menores que 1515 con bc=ad,bc=ad, así que ni 1111 ni 1313 pueden aparecer (cada uno es primo y necesitaría un factor coincidente en el otro lado).

Para maximizar, toma el lado más grande 14.14. Escribiendo los otros como s1>s2>s3s_1\gt s_2\gt s_3 con 14s3=s1s2,14s_3=s_1s_2, el mejor caso es s2=7,s_2=7, dando s1=2s3s_1=2s_3 y (a,b,c,d)=(14,12,7,6).(a,b,c,d)=(14,12,7,6). Entonces 2BD2=142+122+72+62=425, \begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned} así que BD=4252.BD=\sqrt{\dfrac{425}{2}}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let a=AB,a=AB, b=BC,b=BC, c=CD,c=CD, d=DAd=DA and k=bc=ad.k=bc=ad. Writing each triangle's area in terms of the circumradius and using [ABC]+[CDA]=[ABC]+[CDA]= [BCD]+[ABD][BCD]+[ABD] gives (ab+cd)⋅AC=2k⋅BD.(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.

Ptolemy's theorem gives AC⋅BD=ac+bd.AC\cdot BD=ac+bd. Eliminating AC,AC, BD2=(ac+bd)(ab+cd)2k=12(a2+b2+c2+d2). \begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}

The sides are distinct integers below 1515 with bc=ad,bc=ad, so neither 1111 nor 1313 can appear (each is prime and would need a matching factor on the other side).

To maximize, take the largest side 14.14. Writing the others as s1>s2>s3s_1\gt s_2\gt s_3 with 14s3=s1s2,14s_3=s_1s_2, the best case is s2=7,s_2=7, giving s1=2s3s_1=2s_3 and (a,b,c,d)=(14,12,7,6).(a,b,c,d)=(14,12,7,6). Then 2BD2=142+122+72+62=425, \begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned} so BD=4252.BD=\sqrt{\dfrac{425}{2}}.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 22 en otros años

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