Question

Para cierto entero positivo $n$ menor que $1000,$ el equivalente decimal de $\dfrac1n$ es $0.\overline{abcdef},$ un decimal periódico de período $6,$ y el equivalente decimal de $\dfrac{1}{n+6}$ es $0.\overline{wxyz},$ un decimal periódico de período $4.$ ¿En qué intervalo se encuentra $n$ ?

For a certain positive integer $n$ less than $1000,$ the decimal equivalent of $\dfrac1n$ is $0.\overline{abcdef},$ a repeating decimal of period $6,$ and the decimal equivalent of $\dfrac{1}{n+6}$ is $0.\overline{wxyz},$ a repeating decimal of period $4.$ In which interval does $n$ lie?

$[1,200]$

$[201,400]$

$[401,600]$

$[601,800]$

$[801,999]$

Solución:

Período $6$ requiere $n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37.$ Período $4$ requiere $n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ pero $n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11$ (de lo contrario el período sería $1$ o $2$ ). Por lo tanto $101\mid n+6,$ así que $n=101k-6.$ Para $n\lt1000,$ $k\in\{1,3,9\},$ lo que da $n\in\{95,297,903\}.$ Solo $297=3^3\cdot11$ divide a $10^6-1,$ así que $n=297,$ que se encuentra en $[201,400].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Period $6$ requires $n\mid10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37.$ Period $4$ requires $n+6\mid10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ but $n+6\nmid10^2-1=3^2\cdot11$ (else the period would be $1$ or $2$ ). Hence $101\mid n+6,$ so $n=101k-6.$ For $n\lt1000,$ $k\in\{1,3,9\},$ giving $n\in\{95,297,903\}.$ Only $297=3^3\cdot11$ divides $10^6-1,$ so $n=297,$ which lies in $[201,400].$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años