Question

Si las seis soluciones de $x^6=-64$ se escriben en la forma $a+bi,$ donde $a$ y $b$ son reales, entonces el producto de las soluciones con $a\gt0$ es

If the six solutions of $x^6=-64$ are written in the form $a+bi,$ where $a$ and $b$ are real, then the product of those solutions with $a\gt0$ is

$-2$

$0$

$2i$

$4$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:complex roots polar form

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escribe $-64$ en forma polar y enumera sus seis raíces sextas

Write $-64$ in polar form and list its six sixth roots

Pista grande:

Las raíces con parte real positiva forman un par conjugado

The roots with positive real part form a conjugate pair

Solución:

Las raíces tienen módulo $2$ y argumentos $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.$ Las raíces con parte real positiva tienen argumentos $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{11\pi}{6}.$ Son conjugadas de módulo $2,$ así que su producto es $2^2=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The roots have modulus $2$ and arguments $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.$ The roots with positive real part have arguments $\frac{\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6}.$ They are conjugates of modulus $2,$ so their product is $2^2=4.$

Thus the correct answer is D.

1990 AMC 12 Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años