Question

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $\angle ACB$ como su ángulo recto, $m\angle ABC = 60^\circ,$ y $AB = 10.$ Sea $P$ elegido al azar dentro de $\triangle ABC,$ y extienda $\overline{BP}$ hasta cortar $\overline{AC}$ en $D.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $BD \gt 5\sqrt{2}$ ?

Triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle ACB$ as its right angle, $m\angle ABC = 60^\circ,$ and $AB = 10.$ Let $P$ be randomly chosen inside $\triangle ABC,$ and extend $\overline{BP}$ to meet $\overline{AC}$ at $D.$ What is the probability that $BD \gt 5\sqrt{2}?$

$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}$

Solución:

Como $AB = 10$ y $\angle ABC = 60^\circ,$ el triángulo $30$ - $60$ - $90$ tiene $BC = 5$ y $AC = 5\sqrt3.$

Ubique $E$ en $\overline{AC}$ con $CE = 5;$ entonces $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ A medida que $D$ se mueve a lo largo de $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ supera $5\sqrt2$ exactamente cuando $CD \gt 5,$ es decir cuando $D$ queda más allá de $E,$ lo que ocurre si y solo si $P$ está dentro de $\triangle ABE.$

La probabilidad es $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB = 10$ and $\angle ABC = 60^\circ,$ the $30$ - $60$ - $90$ triangle has $BC = 5$ and $AC = 5\sqrt3.$

Place $E$ on $\overline{AC}$ with $CE = 5;$ then $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ As $D$ moves along $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ exceeds $5\sqrt2$ exactly when $CD \gt 5,$ i.e. when $D$ lies beyond $E,$ which happens iff $P$ is inside $\triangle ABE.$

The probability is $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años