Question

¿Cuál es el valor mínimo de $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}$

What is the minimum value of $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}$

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto optimización sumatoria

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

$f$ es lineal por tramos con esquinas en $x=\tfrac1k;$ el mínimo está donde su pendiente pasa de negativa a positiva.

$f$ is piecewise linear with corners at $x=\tfrac1k;$ the minimum is where its slope turns from negative to positive

Pista grande:

En $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ la pendiente es $7140-(m-1)m;$ halla dónde se anula.

On $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ the slope is $7140-(m-1)m;$ find where it vanishes

Solución:

La función $f$ es lineal por tramos con puntos de quiebre en $x=\tfrac1k.$ En el intervalo $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ su pendiente es $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}$ donde $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.$

Esta pendiente es cero cuando $(m-1)m=7140,$ es decir $m=85,$ así que el mínimo ocurre en el extremo derecho $x=\tfrac1{84}.$

Ahí, los términos con $k\le84$ contribuyen $\tfrac{84-k}{84}$ y los términos con $k\ge85$ contribuyen $\tfrac{k-84}{84},$ así que $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The function $f$ is piecewise linear with breakpoints at $x=\tfrac1k.$ On the interval $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ its slope is $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}$ where $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.$

This slope is zero when $(m-1)m=7140,$ i.e. $m=85,$ so the minimum occurs at the right endpoint $x=\tfrac1{84}.$

There, terms with $k\le84$ contribute $\tfrac{84-k}{84}$ and terms with $k\ge85$ contribute $\tfrac{k-84}{84},$ so $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años