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2010 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

El número formado por los dos últimos dígitos no nulos de 90!90! es igual a n.n. ¿Cuánto vale nn?

The number obtained from the last two nonzero digits of 90!90! is equal to n.n. What is n?n?

1212

3232

4848

5252

6868

Respuesta: A
Conceptos:aritmética modularTeorema chino del restoceros finales
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:

Elimina los factores que producen ceros finales, luego trabaja módulo 100100.

Remove the factors making trailing zeroes, then work modulo 100100

Pista grande:

Usa congruencias módulo 44 y módulo 2525 para determinar los dos últimos dígitos.

Use congruences modulo 44 and modulo 2525 to pin down the last two digits

Solución:

El número de ceros finales de 90!90! es ⌊905⌋+⌊9025⌋=21.\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21. Sea N=90!1021.N=\dfrac{90!}{10^{21}}.

Quedan más de dos factores de 22 después de quitar 1021,10^{21}, así que N≡0(mod4).N\equiv0 \pmod4.

Sea AA el producto de los factores de 90!90! no divisibles entre 5,5, y sea BB el producto de los factores divisibles entre 5.5. Cada bloque (5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4) es 24≡−1(mod25),24\equiv-1\pmod{25}, y hay 1818 bloques, así que A≡1(mod25).A\equiv1\pmod{25}.

Después de quitar los 2121 factores de 55 de B,B, los factores restantes pueden agruparse como B521=(1⋅2⋅3⋅4)⋅(6⋅7⋅8⋅9)⋅(11⋅12⋅13⋅14)⋅(16⋅17⋅18)(1⋅2⋅3)≡−1(mod25). \begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}

Por tanto, 90!521≡−1(mod25).\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}. Como 221≡2(mod25)2^{21}\equiv2\pmod{25} y el inverso de 22 módulo 2525 es 13,13, obtenemos N≡−13≡12(mod25).N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.

El número congruente con 0(mod4)0\pmod4 y 12(mod25)12\pmod{25} es 12(mod100),12\pmod{100}, así que los dos últimos dígitos no nulos forman 12.12.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in 90!90! is ⌊905⌋+⌊9025⌋=21.\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21. Let N=90!1021.N=\dfrac{90!}{10^{21}}.

There are still more than two factors of 22 left after removing 1021,10^{21}, so N≡0(mod4).N\equiv0 \pmod4.

Let AA be the product of factors of 90!90! not divisible by 5,5, and let BB be the product of the factors divisible by 5.5. Each block (5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4) is 24≡−1(mod25),24\equiv-1\pmod{25}, and there are 1818 blocks, so A≡1(mod25).A\equiv1\pmod{25}.

After removing the 2121 factors of 55 from B,B, the remaining factors can be grouped as B521=(1⋅2⋅3⋅4)⋅(6⋅7⋅8⋅9)⋅(11⋅12⋅13⋅14)⋅(16⋅17⋅18)(1⋅2⋅3)≡−1(mod25). \begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}

Therefore 90!521≡−1(mod25).\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}. Since 221≡2(mod25)2^{21}\equiv2\pmod{25} and the inverse of 22 modulo 2525 is 13,13, we get N≡−13≡12(mod25).N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.

The number congruent to 0(mod4)0\pmod4 and 12(mod25)12\pmod{25} is 12(mod100),12\pmod{100}, so the last two nonzero digits form 12.12.

Thus, A is the correct answer.

Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

El Problema 23 en otros años

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