Question

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores de $10^n$ es $792.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The sum of the base- $10$ logarithms of the divisors of $10^n$ is $792.$ What is $n?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo conteo de factores

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

La suma de los logaritmos de los divisores es igual al logaritmo del producto de todos los divisores.

The sum of the logs of the divisors equals the log of the product of all divisors

Pista grande:

$10^n$ tiene $(n + 1)^2$ divisores, y el producto de los divisores de $N$ es $N^{\frac{d(N)}{2}};$ esto da $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$ .

$10^n$ has $(n + 1)^2$ divisors, and the product of the divisors of $N$ is $N^{\frac{d(N)}{2}};$ this gives $\tfrac12 n(n + 1)^2 = 792$

Solución:

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores es el logaritmo de su producto. Un número $N$ con $d(N)$ divisores tiene producto de divisores $N^{\frac{d(N)}{2}}.$

Aquí $N = 10^n$ tiene $d(N) = (n + 1)^2$ divisores, así que el producto es $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ y su logaritmo es $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Por lo tanto $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ dando $n = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base- $10$ logs of the divisors is the log of their product. A number $N$ with $d(N)$ divisors has divisor product $N^{\frac{d(N)}{2}}.$

Here $N = 10^n$ has $d(N) = (n + 1)^2$ divisors, so the product is $(10^n)^{\frac{(n+1)^2}{2}}$ and its log is $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Thus $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ giving $n = 11.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 12B Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años