Question

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores de $10^n$ es $792.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The sum of the base- $10$ logarithms of the divisors of $10^n$ is $792.$ What is $n?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Solución:

La suma de los logaritmos en base $10$ de los divisores es el logaritmo de su producto. Un número $N$ con $d(N)$ divisores tiene producto de divisores $N^{d(N)/2}.$

Aquí $N = 10^n$ tiene $d(N) = (n + 1)^2$ divisores, así que el producto es $(10^n)^{(n+1)^2/2}$ y su logaritmo es $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Por lo tanto $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ dando $n = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base- $10$ logs of the divisors is the log of their product. A number $N$ with $d(N)$ divisors has divisor product $N^{d(N)/2}.$

Here $N = 10^n$ has $d(N) = (n + 1)^2$ divisors, so the product is $(10^n)^{(n+1)^2/2}$ and its log is $\frac{n(n + 1)^2}{2} = 792.$

Thus $n(n + 1)^2 = 1584$ $= 11 \cdot 144$ $= 11 \cdot 12^2,$ giving $n = 11.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años