Question

Se eligen al azar dos números distintos $a$ y $b$ del conjunto $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\log_a b$ sea un entero?

Two distinct numbers $a$ and $b$ are chosen randomly from the set $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.$ What is the probability that $\log_a b$ is an integer?

$\dfrac{2}{25}$

$\dfrac{31}{300}$

$\dfrac{13}{100}$

$\dfrac{7}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Sea $a = 2^j$ y $b = 2^k.$ Entonces $\log_a b = \dfrac{k}{j},$ que es entero exactamente cuando $j \mid k.$

Para cada $j,$ el número de $k \ne j$ válidos en $\{1, \ldots, 25\}$ es $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.$ Sumando sobre $j$ se obtiene $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ pares ordenados $(a, b).$

Como hay $25 \cdot 24 = 600$ pares ordenados de elementos distintos, la probabilidad es $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let $a = 2^j$ and $b = 2^k.$ Then $\log_a b = \dfrac{k}{j},$ which is an integer exactly when $j \mid k.$

For each $j,$ the number of valid $k \ne j$ in $\{1, \ldots, 25\}$ is $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.$ Summing over $j$ gives $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ ordered pairs $(a, b).$

Since there are $25 \cdot 24 = 600$ ordered pairs of distinct elements, the probability is $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años