Question

Las aristas de un tetraedro regular con vértices $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ tienen longitud uno. Halla la menor distancia posible entre un par de puntos $P$ y $Q,$ donde $P$ está en la arista $AB$ y $Q$ está en la arista $CD.$

The edges of a regular tetrahedron with vertices $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ each have length one. Find the least possible distance between a pair of points $P$ and $Q,$ where $P$ is on edge $AB$ and $Q$ is on edge $CD.$

$\frac12$

$\frac34$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa coordenadas simétricas para un tetraedro regular con vértices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices $(\pm1,\pm1,\pm1)$

Pista grande:

Parametriza puntos de las dos aristas opuestas y minimiza la distancia al cuadrado

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

Solución:

Antes de escalar, toma $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ Estas aristas tienen longitud $2\sqrt2,$ así que se escala por $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Los puntos de $AB$ y $CD$ tienen las formas $P=(1,t,t)$ y $Q=(-1,u,-u).$ Antes de escalar, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ que se minimiza en $t=u=0.$ Después de escalar, la distancia mínima al cuadrado es $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ por lo que la distancia es $\frac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Before scaling, take $\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}$ These edges have length $2\sqrt2,$ so scale by $\frac{1}{2\sqrt2}.$ Points on $AB$ and $CD$ have forms $P=(1,t,t)$ and $Q=(-1,u,-u).$ Before scaling, $\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}$ minimized at $t=u=0.$ After scaling, the minimum squared distance is $\frac{4}{8}=\frac{1}{2},$ so the distance is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años