Question

Si $p$ es primo y las dos raíces de $x^2+px-444p=0$ son enteras, entonces

If $p$ is a prime and both roots of $x^2+px-444p=0$ are integers, then

$1\lt p\le11$

$11\lt p\le21$

$21\lt p\le31$

$31\lt p\le41$

$41\lt p\le51$

Respuesta: D

Conceptos:integer roots prime divisibility Vieta’s formulas

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para una raíz entera $x,$ reescribe la ecuación como $x^2=p(444-x)$

For an integer root $x,$ rewrite the equation as $x^2=p(444-x)$

Pista grande:

Como $p$ es primo, escribe $x=np$ y factoriza $444$

Since $p$ is prime, write $x=np$ and factor $444$

Solución:

Una raíz entera satisface $x^2=p(444-x).$ Por tanto, $x$ es divisible por $p,$ así que escribimos $x=np.$ Al sustituir, se obtiene $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.$ La condición sobre el producto de enteros consecutivos solo se cumple con $p=37,$ para el cual $n=3$ o $-4.$ Las raíces son $111$ y $-148,$ de modo que $31\lt p\le41.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer root satisfies $x^2=p(444-x).$ Thus $x$ is divisible by $p,$ so write $x=np.$ Substitution gives $n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.$ The consecutive product condition works only with $p=37,$ for which $n=3$ or $-4.$ The roots are $111$ and $-148,$ so $31\lt p\le41.$

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años