Question

En el triángulo $ABC,$ $CD$ es la altura relativa a $AB$ y $AE$ es la altura relativa a $BC.$ Si se conocen las longitudes de $AB,$ $CD,$ y $AE,$ la longitud de $DB$ queda:

In triangle $ABC,$ $CD$ is the altitude to $AB$ and $AE$ is the altitude to $BC.$ If the lengths of $AB,$ $CD,$ and $AE$ are known, the length of $DB$ is:

sin determinar con la información dada

not determined by the information given

determinada solo si $A$ es un ángulo agudo

determined only if $A$ is an acute angle

determinada solo si $B$ es un ángulo agudo

determined only if $B$ is an acute angle

determinada solo si $ABC$ es un triángulo acutángulo

determined only if $ABC$ is an acute triangle

ninguna de las anteriores es correcta

none of these is correct

Respuesta: E

Conceptos:área del triángulo altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Calcula el área del triángulo de dos maneras usando las dos alturas conocidas

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

Pista grande:

Después de hallar $BC,$ usa el triángulo rectángulo $BCD$

After finding $BC,$ use right triangle $BCD$

Solución:

Sean $AB=c,$ $CD=h,$ y $AE=e.$ Al igualar dos fórmulas para el área se obtiene $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ así que $BC=\frac{ch}{e}.$ Como el triángulo $BCD$ es rectángulo en $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ Esto determina $DB$ tanto si el triángulo original es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, así que ninguna de las primeras cuatro opciones es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $AB=c,$ $CD=h,$ and $AE=e.$ Equating two area formulas gives $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ so $BC=\frac{ch}{e}.$ Since triangle $BCD$ is right at $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ This determines $DB$ whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años