Question

Considera todos los polinomios de una variable compleja, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ y el polinomio tiene un cero $z_0$ con $|z_0| = 1.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores $P(1)$ sobre todos los polinomios con estas propiedades?

Consider all polynomials of a complex variable, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ and the polynomial has a zero $z_0$ with $|z_0| = 1.$ What is the sum of all values $P(1)$ over all the polynomials with these properties?

$84$

$92$

$100$

$108$

$120$

Solución:

Como $|z_0|=1,$ aplicar la desigualdad triangular a la identidad $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ obliga a la igualdad en todo, así que todas las diferencias de coeficientes salvo una se anulan.

Analizando los casos (incluyendo $z_0=-1$ y $z_0=\gamma$ una raíz cúbica primitiva de la unidad), los polinomios son exactamente $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4,$ $4z^4+4z^3+4z^2,$ y $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ para $0\le b\le4.$

Sus valores en $1$ son $20,$ $12,$ y $8+2b;$ sumando da $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $|z_0|=1,$ applying the triangle inequality to the identity $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ forces equality throughout, so all but one of the coefficient differences vanish.

Working through the cases (including $z_0=-1$ and $z_0=\gamma$ a primitive cube root of unity), the polynomials are exactly $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4,$ $4z^4+4z^3+4z^2,$ and $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ for $0\le b\le4.$

Their values at $1$ are $20,$ $12,$ and $8+2b;$ summing gives $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años