Question

Considera todos los polinomios de una variable compleja, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ y el polinomio tiene un cero $z_0$ con $|z_0| = 1.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores $P(1)$ sobre todos los polinomios con estas propiedades?

Consider all polynomials of a complex variable, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ and the polynomial has a zero $z_0$ with $|z_0| = 1.$ What is the sum of all values $P(1)$ over all the polynomials with these properties?

$84$

$92$

$100$

$108$

$120$

Respuesta: B

Conceptos:raíces de la unidad número complejo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad triangular a $4z_0^5=(z_0-1)P(z_0)+4z_0^5;$ la igualdad obliga a que los saltos de coeficientes se concentren

Apply the triangle inequality to $4z_0^5=(z_0-1)P(z_0)+4z_0^5;$ equality forces the coefficient jumps to concentrate

Pista grande:

Trata primero los casos en que $z_0^k=1$ para algún $1\le k\le4;$ en caso contrario, la igualdad en la desigualdad triangular permite solo un salto de coeficiente no nulo

First handle the cases where $z_0^k=1$ for some $1\le k\le4;$ otherwise equality in the triangle inequality permits only one nonzero coefficient jump

Solución:

Como $|z_0|=1,$ al aplicar la desigualdad triangular a la identidad $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ el lado izquierdo tiene valor absoluto $4.$ Los saltos no negativos de los coeficientes del lado derecho también suman $4,$ así que hay igualdad y todos sus sumandos complejos no nulos apuntan en la misma dirección.

Si dos saltos son no nulos, su cociente muestra que $z_0^k$ es real positivo para algún $1\le k\le4.$ Como $|z_0|=1,$ esto significa que $z_0^k=1.$ Los casos $k=2,3,4$ dan, respectivamente, $a=4,b=c,d=0;$ $a=b=4,c=d=0;$ y un polinomio que ya pertenece a la primera familia. Si no existe tal potencia, la igualdad obliga a que haya exactamente un salto no nulo. El salto constante da $a=b=c=d=4;$ cualquier otro salto vuelve a forzar $z_0^{5-j}=1$ y conduce a los casos anteriores. Por tanto, los polinomios son exactamente $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ para $0\le b\le4,$ junto con $4z^4+4z^3+4z^2$ y $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4.$

Sus valores en $1$ son $20,$ $12,$ y $8+2b;$ al sumarlos se obtiene $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $|z_0|=1,$ applying the triangle inequality to the identity $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ has left side of absolute value $4.$ The nonnegative coefficient jumps on the right sum to $4,$ so the triangle inequality is an equality and all its nonzero complex summands point in the same direction.

If two jumps are nonzero, their quotient shows that $z_0^k$ is a positive real for some $1\le k\le4.$ Since $|z_0|=1,$ this means $z_0^k=1.$ The cases $k=2,3,4$ give, respectively, $a=4,b=c,d=0;$ $a=b=4,c=d=0;$ and a polynomial already in the first family. If no such power exists, equality forces exactly one nonzero jump. The constant jump gives $a=b=c=d=4;$ any other jump again forces $z_0^{5-j}=1$ and returns to the cases just listed. Hence the polynomials are exactly $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ for $0\le b\le4,$ together with $4z^4+4z^3+4z^2$ and $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4.$

Their values at $1$ are $20,$ $12,$ and $8+2b;$ summing gives $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años