Question

El hexágono convexo equiángulo $ABCDEF$ tiene $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ y $DE = 4.$ El área del hexágono es

The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ and $DE = 4.$ The area of the hexagon is

$\dfrac{15}{2}\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

$16$

$\dfrac{39}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{43}{4}\sqrt{3}$

Solución:

Cada ángulo interior mide $120^\circ,$ así que al extender los lados $FA$ y $BC,$ $BC$ y $DE,$ y $DE$ y $FA$ se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un triángulo equilátero grande.

Los triángulos de las esquinas construidos sobre $AB, CD,$ y $EF$ son equiláteros, y se encuentra que el triángulo grande tiene lado $1 + 4 + 2 = 7,$ mientras que los triángulos eliminados tienen lados $1, 2,$ y $1.$ El área es $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each interior angle is $120^\circ,$ so extending sides $FA$ and $BC,$ $BC$ and $DE,$ and $DE$ and $FA$ cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

The corner triangles built on $AB, CD,$ and $EF$ are equilateral, and one finds the large triangle has side $1 + 4 + 2 = 7,$ while the removed triangles have sides $1, 2,$ and $1.$ The area is $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años