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1999 AMC 12 Problema 23

Intenta el Problema 23 del 1999 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1999 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

El hexágono convexo equiángulo ABCDEFABCDEF tiene AB=1,AB = 1, BC=4,BC = 4, CD=2,CD = 2, y DE=4.DE = 4. El área del hexágono es

The equiangular convex hexagon ABCDEFABCDEF has AB=1,AB = 1, BC=4,BC = 4, CD=2,CD = 2, and DE=4.DE = 4. The area of the hexagon is

1523\dfrac{15}{2}\sqrt{3}

939\sqrt{3}

1616

3943\dfrac{39}{4}\sqrt{3}

4343\dfrac{43}{4}\sqrt{3}

Respuesta: E
Conceptos:polígono equiángulotriángulo equiláterodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1980
Pista pequeña:

Extiende lados alternos para encerrar el hexágono en un triángulo equilátero grande.

Extend alternate sides to enclose the hexagon in a large equilateral triangle

Pista grande:

Resta tres pequeños triángulos equiláteros de las esquinas del grande.

Subtract three small equilateral corner triangles from the large one

Solución:

Cada ángulo interior mide 120∘,120^\circ, así que al prolongar los pares de lados FAFA y BC,BC, BCBC y DE,DE, y DEDE y FAFA, se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un gran triángulo equilátero.

Sean EF=eEF=e y FA=f.FA=f. Al descomponer los seis lados en direcciones separadas por 60∘60^\circ, se obtiene f−e=4f-e=4 y e+f=6,e+f=6, así que e=1e=1 y f=5.f=5. Por tanto, los triángulos de las esquinas construidos sobre AB,CD,AB, CD, y EFEF son equiláteros. El triángulo grande tiene lado 1+4+2=7,1+4+2=7, mientras que los triángulos eliminados tienen lados 1,2,1,2, y 1.1. El área es 34(72−12−22−12)=4334. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es E.

Each interior angle is 120∘,120^\circ, so extending sides FAFA and BC,BC, BCBC and DE,DE, and DEDE and FAFA cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let EF=eEF=e and FA=f.FA=f. Resolving the six sides in directions separated by 60∘60^\circ gives f−e=4f-e=4 and e+f=6,e+f=6, so e=1e=1 and f=5.f=5. The corner triangles built on AB,CD,AB, CD, and EFEF are therefore equilateral. The large triangle has side 1+4+2=7,1+4+2=7, while the removed triangles have sides 1,2,1,2, and 1.1. The area is 34(72−12−22−12)=4334. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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