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2007 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2007 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

El cuadrado ABCDABCD tiene área 36,36, y ABAB es paralelo al eje xx. Los vértices A,A, B,B, y CC están sobre las gráficas de y=log⁡ax,y=\log_a x, y=2log⁡ax,y=2\log_a x, y y=3log⁡ax,y=3\log_a x, respectivamente. ¿Cuánto vale aa?
Square ABCDABCD has area 36,36, and ABAB is parallel to the xx-axis. Vertices A,A, B,B, and CC are on the graphs of y=log⁡ax,y=\log_a x, y=2log⁡ax,y=2\log_a x, and y=3log⁡ax,y=3\log_a x, respectively. What is a?a?
36\sqrt[6]{3}
3\sqrt3
63\sqrt[3]{6}
6\sqrt6
66
Respuesta: A
Conceptos:logaritmogeometría analíticacuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Como ABAB es horizontal con longitud 6,6, plantea log⁡ap=2log⁡aq,\log_a p=2\log_a q, lo que da p=q2p=q^2.
Since ABAB is horizontal with length 6,6, set log⁡ap=2log⁡aq,\log_a p=2\log_a q, giving p=q2p=q^2
Pista grande:
Resuelve ∣q2−q∣=6|q^2-q|=6 para q,q, luego usa BC=6=log⁡aqBC=6=\log_a q.
Solve ∣q2−q∣=6|q^2-q|=6 for q,q, then use BC=6=log⁡aqBC=6=\log_a q
Solución:
Sea A=(p,log⁡ap)A=(p,\log_a p) y B=(q,2log⁡aq).B=(q,2\log_a q). Como ABAB es horizontal, log⁡ap=2log⁡aq=log⁡aq2,\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2, así que p=q2.p=q^2.
La longitud del lado es 6=∣p−q∣=∣q2−q∣,6=|p-q|=|q^2-q|, cuya única solución positiva es q=3.q=3.
Como C=(q,3log⁡aq),C=(q,3\log_a q), el lado vertical da BC=6=log⁡aq=log⁡a3.BC=6=\log_a q=\log_a 3. Así que a6=3,a^6=3, por lo que a=36.a=\sqrt[6]{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let A=(p,log⁡ap)A=(p,\log_a p) and B=(q,2log⁡aq).B=(q,2\log_a q). Since ABAB is horizontal, log⁡ap=2log⁡aq=log⁡aq2,\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2, so p=q2.p=q^2.
The side length is 6=∣p−q∣=∣q2−q∣,6=|p-q|=|q^2-q|, whose only positive solution is q=3.q=3.
Since C=(q,3log⁡aq),C=(q,3\log_a q), the vertical side gives BC=6=log⁡aq=log⁡a3.BC=6=\log_a q=\log_a 3. Thus a6=3,a^6=3, so a=36.a=\sqrt[6]{3}.
Thus, the correct answer is A.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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