Question

El cuadrado $ABCD$ tiene área $36,$ y $AB$ es paralelo al eje $x$ . Los vértices $A,$ $B,$ y $C$ están sobre las gráficas de $y=\log_a x,$ $y=2\log_a x,$ y $y=3\log_a x,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $a$ ?

Square $ABCD$ has area $36,$ and $AB$ is parallel to the $x$ -axis. Vertices $A,$ $B,$ and $C$ are on the graphs of $y=\log_a x,$ $y=2\log_a x,$ and $y=3\log_a x,$ respectively. What is $a?$

$\sqrt[6]{3}$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{6}$

$\sqrt6$

$6$

Solución:

Sea $A=(p,\log_a p)$ y $B=(q,2\log_a q).$ Como $AB$ es horizontal, $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,$ así que $p=q^2.$

La longitud del lado es $6=|p-q|=|q^2-q|,$ cuya única solución positiva es $q=3.$

Como $C=(q,3\log_a q),$ el lado vertical da $BC=6=\log_a q=\log_a 3.$ Así que $a^6=3,$ por lo que $a=\sqrt[6]{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $A=(p,\log_a p)$ and $B=(q,2\log_a q).$ Since $AB$ is horizontal, $\log_a p=2\log_a q=\log_a q^2,$ so $p=q^2.$

The side length is $6=|p-q|=|q^2-q|,$ whose only positive solution is $q=3.$

Since $C=(q,3\log_a q),$ the vertical side gives $BC=6=\log_a q=\log_a 3.$ Thus $a^6=3,$ so $a=\sqrt[6]{3}.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años