Question

Si $x,$ $y\gt0,$ $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},$ y $xy=144,$ entonces $\frac{x+y}{2}=$

If $x,$ $y\gt0,$ $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},$ and $xy=144,$ then $\frac{x+y}{2}=$

$12\sqrt2$

$13\sqrt3$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo quadratic equation symmetric expression

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Sea $t=\log_yx,$ de modo que $\log_xy=\frac{1}{t}$

Let $t=\log_yx,$ so that $\log_xy=\frac{1}{t}$

Pista grande:

Los valores resultantes de $t$ muestran que uno de $x,y$ es el cubo del otro

The resulting values of $t$ show that one of $x,y$ is the cube of the other

Solución:

Sea $t=\log_yx.$ Entonces $t+\frac1t=\frac{10}{3},$ de modo que $3t^2-10t+3=0,$ lo que da $t=3$ o $\frac{1}{3}.$ Por tanto, uno de $x,y$ es el cubo del otro. Sea $u$ el menor. Entonces $u^4=xy=144,$ así que $u=2\sqrt3$ y $u^3=24\sqrt3.$ Por consiguiente, $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let $t=\log_yx.$ Then $t+\frac1t=\frac{10}{3},$ so $3t^2-10t+3=0,$ giving $t=3$ or $\frac{1}{3}.$ Thus one of $x,y$ is the cube of the other. Let the smaller be $u.$ Then $u^4=xy=144,$ so $u=2\sqrt3$ and $u^3=24\sqrt3.$ Therefore $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.$

Thus the correct answer is B.

1990 AMC 12 Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años