Question

Cuando se lanzan $n$ dados estándar de seis caras, el producto de los números obtenidos puede ser cualquiera de $936$ valores posibles. ¿Cuánto vale $n$ ?

When $n$ standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of $936$ possible values. What is $n?$

$11$

$6$

$8$

$10$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:factorización en primos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Un producto queda determinado por los exponentes de $2,3,5,$ así que cuenta las ternas de exponentes distintas

A product is determined by the exponents of $2,3,5,$ so count the distinct exponent triples

Pista grande:

Después de fijar que exactamente $k$ dados muestran $5,$ cuenta los pares de exponentes posibles de $2$ y $3$ de los otros $m=n-k$ dados

After fixing that exactly $k$ dice show $5,$ count the possible exponent pairs of $2$ and $3$ from the other $m=n-k$ dice

Solución:

Cada dado aporta un vector de exponentes de los primos $2,3,5$ (las caras $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), y cada producto queda determinado por la suma de estos vectores.

Fijemos el exponente de $5$ exigiendo que exactamente $k$ dados muestren $5,$ y pongamos $m=n-k.$ Para un exponente $b$ de $3,$ con $0\le b\le m,$ los posibles exponentes $a$ de $2$ son precisamente $0,1,\ldots,2m-b.$ Si $a\le b,$ usamos $a$ caras con $6$ y $b-a$ caras con $3.$ Si $a\gt b,$ usamos $b$ caras con $6$ y formamos los $a-b$ factores restantes de $2$ con caras $4$ y, si hace falta, una cara $2.$ La cota $a\le 2m-b$ dice que esto usa a lo sumo $m$ dados; completamos con caras $1$ . Así, el número de pares de exponentes es $\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}$

Sumando sobre $k=0,1,\ldots,n$ , o equivalentemente sobre $m=0,1,\ldots,n,$ el número de productos distintos es $\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}$ Para $n=11$ , esto es $\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,$ así que $n=11.$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Each die contributes an exponent vector in the primes $2,3,5$ (face $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), and a product is determined by the sum of these vectors.

Fix the exponent of $5$ by requiring exactly $k$ dice to show $5,$ and put $m=n-k.$ For an exponent $b$ of $3,$ where $0\le b\le m,$ the possible exponents $a$ of $2$ are precisely $0,1,\ldots,2m-b.$ If $a\le b,$ use $a$ faces showing $6$ and $b-a$ showing $3.$ If $a\gt b,$ use $b$ faces showing $6$ and make the remaining $a-b$ factors of $2$ with faces $4$ and, if needed, one face $2.$ The bound $a\le 2m-b$ says this uses at most $m$ dice; fill unused dice with $1$ ’s. Thus the number of exponent pairs is $\begin{gathered} \sum_{b=0}^{m}(2m-b+1)\\ {}=\frac{(m+1)(3m+2)}2. \end{gathered}$

Summing over $k=0,1,\ldots,n$ , equivalently over $m=0,1,\ldots,n,$ the number of distinct products is $\begin{gathered} \sum_{m=0}^{n}\frac{(m+1)(3m+2)}2\\ {}=\frac{(n+1)^2(n+2)}2. \end{gathered}$ For $n=11$ this is $\dfrac{12^2\cdot13}{2}=936,$ so $n=11.$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años