Question

Cuando se lanzan $n$ dados estándar de seis caras, el producto de los números obtenidos puede ser cualquiera de $936$ valores posibles. ¿Cuánto vale $n$ ?

When $n$ standard six-sided dice are rolled, the product of the numbers rolled can be any of $936$ possible values. What is $n?$

$11$

$6$

$8$

$10$

$9$

Solución:

Cada dado aporta un vector de exponentes en los primos $2,3,5$ (la cara $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), y un producto queda determinado por la suma de estos vectores. Al contar las sumas alcanzables distintas para $n=1,2,3,\ldots$ se obtiene $6,18,40,75,126,$ $196,288,405,550,726,936,$ así que $n=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each die contributes an exponent vector in the primes $2,3,5$ (face $1\to(0,0,0),$ $2\to(1,0,0),$ $3\to(0,1,0),$ $4\to(2,0,0),$ $5\to(0,0,1),$ $6\to(1,1,0)$ ), and a product is determined by the sum of these vectors. Counting the distinct attainable sums for $n=1,2,3,\ldots$ gives $6,18,40,75,126,$ $196,288,405,550,726,936,$ so $n=11.$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años