Question

Las soluciones de la ecuación $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ son los vértices de un polígono convexo en el plano complejo. ¿Cuál es el área del polígono?

The solutions of the equation $z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0$ are the vertices of a convex polygon in the complex plane. What is the area of the polygon?

$2^{\frac{5}{8}}$

$2^{\frac{3}{4}}$

$2$

$2^{\frac{5}{4}}$

$2^{\frac{3}{2}}$

Respuesta: D

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Suma $1 + i$ a ambos lados para reconocer una cuarta potencia perfecta.

Add $1 + i$ to both sides to recognize a perfect fourth power

Pista grande:

Los cuatro valores de $z + i$ están igualmente espaciados en un círculo de radio $2^{\frac{1}{8}},$ formando un cuadrado.

The four values of $z + i$ lie equally spaced on a circle of radius $2^{\frac{1}{8}},$ forming a square

Solución:

Sumando $1 + i$ a ambos lados, el lado izquierdo se convierte en $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ así que $(z + i)^4 = 1 + i.$

Las cuatro soluciones para $w = z + i$ están igualmente espaciadas en un círculo de radio $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},$ y forman un cuadrado. Restar $i$ solo lo traslada.

Un cuadrado inscrito en un círculo de radio $2^{\frac{1}{8}}$ tiene diagonal $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},$ así que su lado es $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.$

El área es $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Adding $1 + i$ to both sides, the left side becomes $\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}$ so $(z + i)^4 = 1 + i.$

The four solutions for $w = z + i$ are equally spaced on a circle of radius $|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},$ and they form a square. Subtracting $i$ merely translates it.

A square inscribed in a circle of radius $2^{\frac{1}{8}}$ has diagonal $2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},$ so its side is $\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.$

The area is $\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.$

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años