Question

La fracción $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ donde $n$ es la longitud del período de la expansión decimal periódica. ¿Cuál es la suma $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}$ ?

The fraction $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ where $n$ is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?$

$874$

$883$

$887$

$891$

$892$

Solución:

Leyendo el bloque en pares de dígitos (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ se expande como $00,01,02,\ldots,$ ya que $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ El acarreo resulta de modo que cada bloque de dos dígitos $00,01,\ldots,97$ aparece, el bloque $98$ se omite, y $99$ aparece, antes de que el período se repita.

Si los bloques $00$ hasta $99$ aparecieran todos, la suma de dígitos sería $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Al quitar el $98$ que falta se restan $9+8,$ lo que da $900-9-8=883.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the block in pairs of digits (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ expands as $00,01,02,\ldots,$ since $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Carrying works out so that every two-digit block $00,01,\ldots,97$ appears, the block $98$ is skipped, and $99$ appears, before the period repeats.

If the blocks $00$ through $99$ all appeared, the digit sum would be $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Removing the missing $98$ subtracts $9+8,$ giving $900-9-8=883.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años