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2014 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2014 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

La fracción 1992=0.bn−1bn−2…b2b1b0‾,\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0}, donde nn es la longitud del período de la expansión decimal periódica. ¿Cuál es la suma b0+b1+⋯+bn−1b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?
The fraction 1992=0.bn−1bn−2…b2b1b0‾,\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0}, where nn is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum b0+b1+⋯+bn−1?b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?
874874
883883
887887
891891
892892
Respuesta: B
Conceptos:decimal periódicodígitosreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:
Como 1992=19801\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}, el bloque periódico satisface 10n−1=9801⋅bn−1…b0‾10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}.
Since 1992=19801\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}, the repeating block satisfies 10n−1=9801⋅bn−1…b0‾10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}
Pista grande:
Agrupa el decimal periódico en cifras de base 100100 y usa (100−1)−2;(100-1)^{-2}; sigue los acarreos hasta que se repita la primera cifra de base 100100
Group the repeating decimal into base-100100 digits and use (100−1)−2;(100-1)^{-2}; follow the carries until the first base-100100 digit repeats
Solución:
Leyendo el bloque por pares de dígitos (en base 100100), 19801=1992\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2} se expande como 00,01,02,…,00,01,02,\ldots, pues 1(100−1)2=∑k≥1k⋅100−k.\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}. Sea aja_j el jj-ésimo dígito en base 100100 del bloque periódico. Al multiplicar el bloque por 99299^2, primero se obtiene a0=99.a_0=99. El acarreo resultante da a1=97,a_1=97, y después ya no hay acarreo, con aj=98−ja_j=98-j sucesivamente para 1≤j≤98.1\le j\le98. El siguiente dígito vuelve a ser 99,99, así que el período es 00,01,02,…,96,97,99,00,01,02,\ldots,96,97,99, omitiendo 9898.
Si aparecieran todos los bloques de 0000 a 9999, la suma de dígitos sería (0+1+⋯+9)⋅20=900.(0+1+\cdots+9)\cdot20=900. Al quitar el 9898 ausente se resta 9+8,9+8, lo que da 900−9−8=883.900-9-8=883.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Reading the block in pairs of digits (base 100100), 19801=1992\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2} expands as 00,01,02,…,00,01,02,\ldots, since 1(100−1)2=∑k≥1k⋅100−k.\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}. Let aja_j be the jjth base-100100 digit of the repeating block. Multiplying the block by 99299^2 shows first that a0=99.a_0=99. The resulting carry gives a1=97,a_1=97, after which there is no carry and successively aj=98−ja_j=98-j for 1≤j≤98.1\le j\le98. The next digit is again 99,99, so the period is 00,01,02,…,96,97,99,00,01,02,\ldots,96,97,99, with 9898 omitted.
If the blocks 0000 through 9999 all appeared, the digit sum would be (0+1+⋯+9)⋅20=900.(0+1+\cdots+9)\cdot20=900. Removing the missing 9898 subtracts 9+8,9+8, giving 900−9−8=883.900-9-8=883.
Thus, the correct answer is B.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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