Question

Si escribimos $|x^2-4|\lt N$ para todo $x$ tal que $|x-2|\lt0.01,$ el menor valor que podemos usar para $N$ es:

If we write $|x^2-4|\lt N$ for all $x$ such that $|x-2|\lt0.01,$ the smallest value we can use for $N$ is:

$0.0301$

$0.0349$

$0.0399$

$0.0401$

$0.0499$

Respuesta: D

Conceptos:valor absoluto desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Factoriza $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Factor $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Pista grande:

La mayor cota unilateral se alcanza cuando $x$ se aproxima a $2.01$

The larger one-sided bound occurs as $x$ approaches $2.01$

Solución:

Para $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Los valores de $x$ arbitrariamente próximos a $2.01$ hacen que la expresión se aproxime arbitrariamente a $0.0401,$ por lo que ninguna cota menor sirve.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Values with $x$ arbitrarily close to $2.01$ make the expression arbitrarily close to $0.0401,$ so no smaller bound works.

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años