Question

Dada la sucesión $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ el menor valor de $n$ para el cual el producto de los primeros $n$ términos de esta sucesión excede $100{,}000$ es:

Given the sequence $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ the smallest value of $n$ such that the product of the first $n$ members of this sequence exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:exponente sumatoria desigualdad

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Suma los exponentes del producto

Add the exponents in the product

Pista grande:

Exige que $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Solución:

El producto es $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ Para exceder $100{,}000=10^5,$ necesitamos $n(n+1)\gt110.$ Para $n=10$ hay igualdad, mientras que $n=11$ la supera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ To exceed $100{,}000=10^5,$ we need $n(n+1)\gt110.$ At $n=10$ equality holds, while $n=11$ exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

1965 AMC 12 Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años