Question

Se eligen enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ de modo que $a \lt b \lt c,$ y el sistema de ecuaciones $2x + y = 2003$ y $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ tiene exactamente una solución. ¿Cuál es el mínimo valor de $c$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are chosen so that $a \lt b \lt c,$ and the system of equations $2x + y = 2003$ and $\begin{aligned} &y = |x - a| + |x - b| \\ &\quad {}+ |x - c| \end{aligned}$ has exactly one solution. What is the minimum value of $c?$

$668$

$669$

$1002$

$2003$

$2004$

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

La gráfica de $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ es lineal por tramos con pendientes $-3, -1, 1, 3$

The graph of $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$

Pista grande:

La recta tiene pendiente $-2;$ una única intersección obliga a que toque el vértice en $x = a,$ donde $y = b + c - 2a$

The line has slope $-2;$ a single intersection forces it to touch the corner at $x = a,$ where $y = b + c - 2a$

Solución:

La función $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ es lineal por tramos, con pendientes $-3, -1, 1, 3$ y vértices en $x = a, b, c.$ La recta $2x + y = 2003$ tiene pendiente $-2.$

Una recta de pendiente $-2$ corta la gráfica exactamente una vez solo si pasa por el vértice más a la izquierda $(a,\, b + c - 2a),$ donde la pendiente salta de $-3$ a $-1.$ Al sustituir, $2a + (b + c - 2a) = 2003,$ así que $b + c = 2003.$

Como $b \lt c,$ necesitamos $c \gt \dfrac{2003}{2},$ de modo que $c \ge 1002.$ Esta cota se alcanza tomando $a = 1,$ $b = 1001,$ y $c = 1002.$ Por tanto, el mínimo es $1002.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The function $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ is piecewise linear with slopes $-3, -1, 1, 3$ and corners at $x = a, b, c.$ The line $2x + y = 2003$ has slope $-2.$

A line of slope $-2$ meets this graph exactly once only if it passes through the leftmost corner $(a,\, b + c - 2a),$ where the graph’s slope jumps from $-3$ to $-1.$ Substituting, $2a + (b + c - 2a) = 2003,$ so $b + c = 2003.$

Since $b \lt c,$ we need $c \gt \dfrac{2003}{2},$ so $c \ge 1002.$ This bound is attained: take $a = 1,$ $b = 1001,$ and $c = 1002.$ Therefore the minimum is $1002.$

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años