Question

La función torre de doses se define recursivamente como sigue: $T(1) = 2$ y $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ para $n \ge 1.$ Sea $A = (T(2009))^{T(2009)}$ y $B = (T(2009))^A.$ ¿Cuál es el mayor entero $k$ tal que $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ está definido?

The tower function of twos is defined recursively as follows: $T(1) = 2$ and $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ for $n \ge 1.$ Let $A = (T(2009))^{T(2009)}$ and $B = (T(2009))^A.$ What is the largest integer $k$ such that $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ is defined?

$2009$

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

Solución:

Como $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ cada aplicación de $\log_2$ quita un $2$ de la cima de una torre de doses.

Reduciendo $B = (T(2009))^A$ con $A = (T(2009))^{T(2009)},$ se encuentra $\log_2 B = A\cdot T(2008),$ $\log_2^2 B = T(2009)T(2008)$ $+ T(2007),$ y en general el término dominante tras $k + 3$ logaritmos es $T(2008 - k).$

Así que tras $2012$ aplicaciones de $\log_2$ el resultado sigue siendo positivo, lo que significa que un $2013$ -ésimo $\log_2$ está definido. Una cota superior correspondiente muestra que el resultado se vuelve negativo tras $2013$ aplicaciones, así que un $2014$ -ésimo $\log_2$ no está definido. Por lo tanto el mayor $k$ es $2013.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ each application of $\log_2$ strips one $2$ off the top of a tower of twos.

Reducing $B = (T(2009))^A$ with $A = (T(2009))^{T(2009)},$ one finds $\log_2 B = A\cdot T(2008),$ $\log_2^2 B = T(2009)T(2008)$ $+ T(2007),$ and in general the dominant term after $k + 3$ logs is $T(2008 - k).$

So after $2012$ applications of $\log_2$ the result is still positive, meaning a $2013$ th $\log_2$ is defined. A matching upper bound shows the result becomes negative after $2013$ applications, so a $2014$ th $\log_2$ is undefined. Hence the largest $k$ is $2013.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años