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2010 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

El conjunto de números reales xx para los cuales 1x−2009+1x−2010+1x−2011≥1 \begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned} es la unión de intervalos de la forma a<x≤b.a\lt x\le b. ¿Cuál es la suma de las longitudes de estos intervalos?

The set of real numbers xx for which 1x−2009+1x−2010+1x−2011≥1 \begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned} is the union of intervals of the form a<x≤b.a\lt x\le b. What is the sum of the lengths of these intervals?

1003335\dfrac{1003}{335}

1004335\dfrac{1004}{335}

33

403134\dfrac{403}{134}

20267\dfrac{202}{67}

Respuesta: C
Conceptos:ecuación racionaldesigualdadFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 2320
Pista pequeña:

El lado izquierdo es decreciente en cada intervalo entre sus asíntotas verticales, así que cada intervalo solución termina en una raíz de la ecuación =1=1

The left side is decreasing on each interval between its vertical asymptotes, so each solution interval ends at a root of the equation =1=1

Pista grande:

Los tres extremos derechos son las raíces de una cúbica; súmalos con Vieta

The three right endpoints are the roots of a cubic; sum them with Vieta

Solución:

Sea f(x)f(x) el lado izquierdo. En cada intervalo entre asíntotas consecutivas 2009,2010,2011,2009, 2010, 2011, la función ff es decreciente, y f<1f\lt1 para todo x<2009.x\lt2009.

En cada uno de (2009,2010),(2009,2010), (2010,2011),(2010,2011), y (2011,∞),(2011,\infty), la solución es la parte desde la asíntota izquierda hasta un valor xix_i donde f(xi)=1.f(x_i)=1. Así que el conjunto solución consta de tres intervalos con extremos izquierdos 2009,2010,20112009, 2010, 2011 y extremos derechos x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3.

La longitud total es (x1−2009)(x_1-2009) +(x2−2010)+(x_2-2010) +(x3−2011)+(x_3-2011) =x1+x2+x3−6030.=x_1+x_2+x_3-6030.

Al eliminar los denominadores en f(x)=1f(x)=1 se obtiene x3−(2009+2010+2011+3)x2+⋯=0, \begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned} cuyas raíces son x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3. Por Vieta, x1+x2+x3=6033,x_1+x_2+x_3=6033, así que la suma de las longitudes es 6033−6030=3.6033-6030=3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let f(x)f(x) be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes 2009,2010,2011,2009, 2010, 2011, the function ff is decreasing, and f<1f\lt1 for all x<2009.x\lt2009.

On each of (2009,2010),(2009,2010), (2010,2011),(2010,2011), and (2011,∞),(2011,\infty), the solution is the part from the left asymptote up to a value xix_i where f(xi)=1.f(x_i)=1. So the solution set consists of three intervals with left endpoints 2009,2010,20112009, 2010, 2011 and right endpoints x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3.

The total length is (x1−2009)(x_1-2009) +(x2−2010)+(x_2-2010) +(x3−2011)+(x_3-2011) =x1+x2+x3−6030.=x_1+x_2+x_3-6030.

Clearing denominators in f(x)=1f(x)=1 gives x3−(2009+2010+2011+3)x2+⋯=0, \begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned} whose roots are x1,x2,x3.x_1, x_2, x_3. By Vieta, x1+x2+x3=6033,x_1+x_2+x_3=6033, so the sum of lengths is 6033−6030=3.6033-6030=3.

Thus, the correct answer is C.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

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