Question

El conjunto de números reales $x$ para los cuales $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ es la unión de intervalos de la forma $a\lt x\le b.$ ¿Cuál es la suma de las longitudes de estos intervalos?

The set of real numbers $x$ for which $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ is the union of intervals of the form $a\lt x\le b.$ What is the sum of the lengths of these intervals?

$\dfrac{1003}{335}$

$\dfrac{1004}{335}$

$3$

$\dfrac{403}{134}$

$\dfrac{202}{67}$

Solución:

Sea $f(x)$ el lado izquierdo. En cada intervalo entre asíntotas consecutivas $2009, 2010, 2011,$ la función $f$ es decreciente, y $f\lt1$ para todo $x\lt2009.$

En cada uno de $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ y $(2011,\infty),$ la solución es la parte desde la asíntota izquierda hasta un valor $x_i$ donde $f(x_i)=1.$ Así que el conjunto solución consta de tres intervalos con extremos izquierdos $2009, 2010, 2011$ y extremos derechos $x_1, x_2, x_3.$

La longitud total es $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Al eliminar los denominadores en $f(x)=1$ se obtiene $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ cuyas raíces son $x_1, x_2, x_3.$ Por Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ así que la suma de las longitudes es $6033-6030=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $f(x)$ be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes $2009, 2010, 2011,$ the function $f$ is decreasing, and $f\lt1$ for all $x\lt2009.$

On each of $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ and $(2011,\infty),$ the solution is the part from the left asymptote up to a value $x_i$ where $f(x_i)=1.$ So the solution set consists of three intervals with left endpoints $2009, 2010, 2011$ and right endpoints $x_1, x_2, x_3.$

The total length is $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Clearing denominators in $f(x)=1$ gives $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ whose roots are $x_1, x_2, x_3.$ By Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ so the sum of lengths is $6033-6030=3.$

Thus, the correct answer is C.

2010 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años