Question

Considera todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ y $DA = 12.$ ¿Cuál es el radio del mayor círculo posible que cabe dentro o sobre la frontera de tal cuadrilátero?

Consider all quadrilaterals $ABCD$ such that $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ and $DA = 12.$ What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?

$\sqrt{15}$

$\sqrt{21}$

$2\sqrt{6}$

$5$

$2\sqrt{7}$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Brahmagupta cuadrilátero cíclico optimización

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Si cabe un círculo de radio $r$ , al dividir desde su centro se ve que el área del cuadrilátero es al menos $21r$

If a circle of radius $r$ fits, splitting from its center shows the quadrilateral’s area is at least $21r$

Pista grande:

La desigualdad de Bretschneider acota el área mediante el caso cíclico; el caso de igualdad también es tangencial porque las sumas de lados opuestos son iguales

Bretschneider’s inequality bounds the area by the cyclic case; the equality case is also tangential because opposite side sums are equal

Solución:

Supongamos que un círculo de radio $r$ y centro $X$ cabe en uno de los cuadriláteros. Si $h_1,h_2,h_3,h_4$ son las distancias de $X$ a las rectas que contienen los cuatro lados, entonces cada $h_i\ge r.$ Al dividir el cuadrilátero en cuatro triángulos, $\begin{aligned} K&=\dfrac12(14h_1+9h_2 \\ &\qquad+7h_3+12h_4) \\ &\ge21r. \end{aligned}$

La desigualdad de Bretschneider acota el área de todo cuadrilátero con estos lados mediante el caso cíclico: $\begin{aligned} K^2&\le(21-14)(21-9) \\ &\qquad\cdot(21-7)(21-12) \\ &=7\cdot12\cdot14\cdot9, \\ K&\le42\sqrt6. \end{aligned}$

Por tanto, $r\le \frac{K}{21}\le2\sqrt6.$ La igualdad se alcanza: el cuadrilátero cíclico con estos lados también es tangencial porque $14+7=9+12,$ y su incírculo tiene radio $\frac{K}{21}=2\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Suppose a circle of radius $r$ centered at $X$ fits in one of the quadrilaterals. If $h_1,h_2,h_3,h_4$ are the distances from $X$ to the four side lines, then each $h_i\ge r.$ Splitting the quadrilateral into four triangles gives $\begin{aligned} K&=\dfrac12(14h_1+9h_2 \\ &\qquad+7h_3+12h_4) \\ &\ge21r. \end{aligned}$

Bretschneider’s inequality bounds the area of any quadrilateral with these sides by the cyclic case: $\begin{aligned} K^2&\le(21-14)(21-9) \\ &\qquad\cdot(21-7)(21-12) \\ &=7\cdot12\cdot14\cdot9, \\ K&\le42\sqrt6. \end{aligned}$

Therefore $r\le \frac{K}{21}\le2\sqrt6.$ Equality is attainable: the cyclic quadrilateral with these sides is also tangential because $14+7=9+12,$ and its incircle has radius $\frac{K}{21}=2\sqrt6.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años