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2005 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2005 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). ¿Para cuántos polinomios Q(x)Q(x) existe un polinomio R(x)R(x) de grado 33 tal que P(Q(x))=P(x)⋅R(x)P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)?

Let P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). For how many polynomials Q(x)Q(x) does there exist a polynomial R(x)R(x) of degree 33 such that P(Q(x))=P(x)⋅R(x)?P(Q(x)) = P(x) \cdot R(x)?

1919

2222

2424

2727

3232

Respuesta: B
Conceptos:polinomioanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Compara los grados: P(Q(x))P(Q(x)) tiene grado 3deg⁡Q3\deg Q y P(x)R(x)P(x)R(x) tiene grado 6,6, así que deg⁡Q=2\deg Q = 2.

Compare degrees: P(Q(x))P(Q(x)) has degree 3deg⁡Q3\deg Q and P(x)R(x)P(x)R(x) has degree 6,6, so deg⁡Q=2\deg Q = 2

Pista grande:

Para x=1,2,3,x = 1, 2, 3, el lado derecho es 0,0, así que cada uno de Q(1),Q(2),Q(3)Q(1), Q(2), Q(3) está en {1,2,3};\{1, 2, 3\}; descarta las ternas que dan grado menor que 22.

For x=1,2,3,x = 1, 2, 3, the right side is 0,0, so each of Q(1),Q(2),Q(3)Q(1), Q(2), Q(3) lies in {1,2,3};\{1, 2, 3\}; discard the triples giving degree less than 22

Solución:

Como P(x)R(x)P(x)R(x) tiene grado 66 y P(Q(x))P(Q(x)) tiene grado 3deg⁡Q,3\deg Q, necesitamos deg⁡Q=2.\deg Q = 2. Un polinomio cuadrático QQ queda determinado por la terna ordenada (Q(1),Q(2),Q(3)).(Q(1), Q(2), Q(3)).

En x=1,2,3x = 1, 2, 3 el lado derecho se anula, así que P(Q(x))=0,P(Q(x)) = 0, lo que obliga a que cada uno de Q(1),Q(2),Q(3)Q(1), Q(2), Q(3) esté en {1,2,3}.\{1, 2, 3\}. Eso da 2727 ternas.

Cinco de ellas dan un polinomio de grado menor que 2:2: las constantes de (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3) y las lineales Q(x)=xQ(x) = x de (1,2,3)(1,2,3) y Q(x)=4−xQ(x) = 4 - x de (3,2,1).(3,2,1). Las otras 27−5=2227 - 5 = 22 ternas no son colineales y dan polinomios cuadráticos genuinos.

Así, la respuesta correcta es B.

Since P(x)R(x)P(x)R(x) has degree 66 and P(Q(x))P(Q(x)) has degree 3deg⁡Q,3\deg Q, we need deg⁡Q=2.\deg Q = 2. A quadratic QQ is determined by the ordered triple (Q(1),Q(2),Q(3)).(Q(1), Q(2), Q(3)).

At x=1,2,3x = 1, 2, 3 the right side vanishes, so P(Q(x))=0,P(Q(x)) = 0, forcing each of Q(1),Q(2),Q(3)Q(1), Q(2), Q(3) into {1,2,3}.\{1, 2, 3\}. That gives 2727 triples.

Five of them give a polynomial of degree less than 2:2: the constants from (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3) and the linear Q(x)=xQ(x) = x from (1,2,3)(1,2,3) and Q(x)=4−xQ(x) = 4 - x from (3,2,1).(3,2,1). The other 27−5=2227 - 5 = 22 triples are non-collinear and yield genuine quadratics.

Thus, the correct answer is B.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

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