Question

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ hay tales que $\gcd(a,b)=1$ y $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ es un entero?

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $\gcd(a,b)=1$ and $\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}$ is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Solución:

Sea $k$ el valor entero de la expresión original. Multiplicando por $b$ y restando $a$ se obtiene $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,$ un entero. Como $\gcd(a,b)=1,$ se sigue que $a\mid14.$ Multiplicando en cambio por $9a$ y restando $14b$ se obtiene $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,$ así que $b\mid9.$

Por tanto $a\in\{1,2,7,14\}$ y $b\in\{1,3,9\}.$ Comprobando los candidatos coprimos, la expresión es un entero solo para $(a,b)=(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ $(14,3).$

Así que hay $4$ tales pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $k$ be the integer value of the original expression. Multiplying by $b$ and subtracting $a$ gives $\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,$ an integer. Since $\gcd(a,b)=1,$ it follows that $a\mid14.$ Multiplying instead by $9a$ and subtracting $14b$ gives $\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,$ so $b\mid9.$

Thus $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking the coprime candidates, the expression is an integer only for $(a,b)=(1,3),$ $(2,3),$ $(7,3),$ $(14,3).$

So there are $4$ such pairs.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años