Question

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D$ y $E$ están ubicados en el espacio de $3$ dimensiones con $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ y $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ.$ El plano del $\triangle ABC$ es paralelo a $\overline{DE}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle BDE$ ?

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are located in $3$ -dimensional space with $AB=BC=CD$ $=DE=EA=2$ and $\angle ABC=\angle CDE$ $=\angle DEA=90^\circ.$ The plane of $\triangle ABC$ is parallel to $\overline{DE}.$ What is the area of $\triangle BDE?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

Solución:

Establece $D=(-1,0,0)$ y $E=(1,0,0),$ y deja que el $\triangle ABC$ esté en el plano $z=k\gt0.$ Como $\angle CDE$ y $\angle DEA$ son ángulos rectos, $A$ y $C$ están en círculos de radio $2$ centrados en $E$ y $D$ en los planos $x=1$ y $x=-1,$ así que $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ con $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.$

Como $\angle ABC=90^\circ,$ $AC=2\sqrt2,$ lo que fuerza $y_1=-y_2.$ Tomando $y_1=1,$ $y_2=-1,$ se obtiene $k=\sqrt3,$ así que $A=(1,1,\sqrt3),$ $C=(-1,-1,\sqrt3),$ y $B$ es $(1,-1,\sqrt3)$ o $(-1,1,\sqrt3).$

En el primer caso $BE=2$ con $BE\perp DE;$ en el segundo $BD=2$ con $BD\perp DE.$ En cualquier caso el $\triangle BDE$ tiene catetos $2$ y $2,$ así que su área es $\tfrac12(2)(2)=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set $D=(-1,0,0)$ and $E=(1,0,0),$ and let $\triangle ABC$ lie in the plane $z=k\gt0.$ Because $\angle CDE$ and $\angle DEA$ are right angles, $A$ and $C$ lie on radius- $2$ circles centered at $E$ and $D$ in the planes $x=1$ and $x=-1,$ so $A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)$ with $y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.$

Since $\angle ABC=90^\circ,$ $AC=2\sqrt2,$ which forces $y_1=-y_2.$ Taking $y_1=1,$ $y_2=-1,$ gives $k=\sqrt3,$ so $A=(1,1,\sqrt3),$ $C=(-1,-1,\sqrt3),$ and $B$ is $(1,-1,\sqrt3)$ or $(-1,1,\sqrt3).$

In the first case $BE=2$ with $BE\perp DE;$ in the second $BD=2$ with $BD\perp DE.$ Either way $\triangle BDE$ has legs $2$ and $2,$ so its area is $\tfrac12(2)(2)=2.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años