Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2007 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Los puntos A,A, B,B, C,C, D,D, y EE están ubicados en el espacio de 33 dimensiones con AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2 y ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘.=\angle DEA=90^\circ. El plano del △ABC\triangle ABC es paralelo a DE‾.\overline{DE}. ¿Cuál es el área del △BDE\triangle BDE?
Points A,A, B,B, C,C, D,D, and EE are located in 33-dimensional space with AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2 and ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘.=\angle DEA=90^\circ. The plane of △ABC\triangle ABC is parallel to DE‾.\overline{DE}. What is the area of △BDE?\triangle BDE?
2\sqrt{2}
3\sqrt{3}
22
5\sqrt{5}
6\sqrt{6}
Respuesta: C
Conceptos:Geometría 3Dgeometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2400
Pista pequeña:
Coloca D=(−1,0,0),D=(-1,0,0), E=(1,0,0),E=(1,0,0), y pon el △ABC\triangle ABC en un plano horizontal z=k>0z=k\gt0.
Place D=(−1,0,0),D=(-1,0,0), E=(1,0,0),E=(1,0,0), and put △ABC\triangle ABC in a horizontal plane z=k>0z=k\gt0
Pista grande:
Los ángulos rectos en DD y EE ponen a A,CA,C en círculos de radio 22; usa AC=22AC=2\sqrt2 para hallar kk.
The right angles at DD and EE put A,CA,C on radius-22 circles; use AC=22AC=2\sqrt2 to find kk
Solución:
Establece D=(−1,0,0)D=(-1,0,0) y E=(1,0,0),E=(1,0,0), y deja que el △ABC\triangle ABC esté en el plano z=k>0.z=k\gt0. Como ∠CDE\angle CDE y ∠DEA\angle DEA son ángulos rectos, AA y CC están en círculos de radio 22 centrados en EE y DD en los planos x=1x=1 y x=−1,x=-1, así que A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k) con yj=±4−k2.y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC=90^\circ, AC=22,AC=2\sqrt2, lo que fuerza y1=−y2.y_1=-y_2. Tomando y1=1,y_1=1, y2=−1,y_2=-1, se obtiene k=3,k=\sqrt3, así que A=(1,1,3),A=(1,1,\sqrt3), C=(−1,−1,3),C=(-1,-1,\sqrt3), y BB es (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) o (−1,1,3).(-1,1,\sqrt3).
En el primer caso BE=2BE=2 con BE⊥DE;BE\perp DE; en el segundo BD=2BD=2 con BD⊥DE.BD\perp DE. En cualquier caso el △BDE\triangle BDE tiene catetos 22 y 2,2, así que su área es 12(2)(2)=2.\tfrac12(2)(2)=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Set D=(−1,0,0)D=(-1,0,0) and E=(1,0,0),E=(1,0,0), and let △ABC\triangle ABC lie in the plane z=k>0.z=k\gt0. Because ∠CDE\angle CDE and ∠DEA\angle DEA are right angles, AA and CC lie on radius-22 circles centered at EE and DD in the planes x=1x=1 and x=−1,x=-1, so A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k) with yj=±4−k2.y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC=90^\circ, AC=22,AC=2\sqrt2, which forces y1=−y2.y_1=-y_2. Taking y1=1,y_1=1, y2=−1,y_2=-1, gives k=3,k=\sqrt3, so A=(1,1,3),A=(1,1,\sqrt3), C=(−1,−1,3),C=(-1,-1,\sqrt3), and BB is (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) or (−1,1,3).(-1,1,\sqrt3).
In the first case BE=2BE=2 with BE⊥DE;BE\perp DE; in the second BD=2BD=2 with BD⊥DE.BD\perp DE. Either way △BDE\triangle BDE has legs 22 and 2,2, so its area is 12(2)(2)=2.\tfrac12(2)(2)=2.
Thus, the correct answer is C.
Problema 24#24
Examen completo

El Problema 25 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B