Question

El número $a = \dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, tiene la propiedad de que la suma de todos los números reales $x$ que satisfacen $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ es $420,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ y $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x.$ ¿Cuánto vale $p + q$ ?

The number $a = \dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, has the property that the sum of all real numbers $x$ satisfying $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ is $420,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$ and $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denotes the fractional part of $x.$ What is $p + q?$

$245$

$593$

$929$

$1331$

$1332$

Solución:

En el intervalo $x \in [n, n+1)$ la ecuación se convierte en $n(x - n) = a x^2,$ es decir $a x^2 - n x + n^2 = 0,$ cuyas dos raíces son $x = \dfrac{n\big(1 \pm \sqrt{1 - 4a}\big)}{2a}.$

Para $0 \lt a \lt \tfrac14$ cada intervalo $[n, n+1)$ aporta exactamente una raíz de esta cuadrática que cae en él (para $n$ adecuados), y sumar las raíces sobre todos los $n$ válidos da un total que depende solo de $a.$

Exigir que la suma sea $420$ fuerza $a = \dfrac{29}{900},$ que ya está en su mínima expresión. Por lo tanto $p + q = 29 + 900 = 929.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

On the interval $x \in [n, n+1)$ the equation becomes $n(x - n) = a x^2,$ i.e. $a x^2 - n x + n^2 = 0,$ whose two roots are $x = \dfrac{n\big(1 \pm \sqrt{1 - 4a}\big)}{2a}.$

For $0 \lt a \lt \tfrac14$ each interval $[n, n+1)$ contributes exactly one root of this quadratic that lies in it (for suitable $n$ ), and summing the roots over all valid $n$ gives a total that depends only on $a.$

Requiring the sum to be $420$ forces $a = \dfrac{29}{900},$ which is already in lowest terms. Hence $p + q = 29 + 900 = 929.$

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años