Question

El número $a = \dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, tiene la propiedad de que la suma de todos los números reales $x$ que satisfacen $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ es $420,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ y $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x.$ ¿Cuánto vale $p + q$ ?

The number $a = \dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, has the property that the sum of all real numbers $x$ satisfying $\lfloor x \rfloor \cdot \{x\} = a \cdot x^2$ is $420,$ where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$ and $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denotes the fractional part of $x.$ What is $p + q?$

$245$

$593$

$929$

$1331$

$1332$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

En $x \in [n, n+1)$ escribe $\lfloor x \rfloor = n$ y $\{x\} = x - n,$ convirtiendo la ecuación en una cuadrática $a x^2 - n x + n^2 = 0$ .

On $x \in [n, n+1)$ write $\lfloor x \rfloor = n$ and $\{x\} = x - n,$ turning the equation into a quadratic $a x^2 - n x + n^2 = 0$

Pista grande:

Parametriza las dos raíces, tras dividir entre $n$ , como $1+\dfrac1u$ y $1+u;$ determina qué enteros positivos $n$ hacen que una raíz caiga en $[n,n+1)$

Parameterize the two roots after dividing by $n$ as $1+\dfrac1u$ and $1+u;$ determine which positive integers $n$ put a root in $[n,n+1)$

Solución:

No hay soluciones negativas, mientras que $x=0$ siempre es solución. Para $n\ge1$ y $x\in[n,n+1),$ sea $y=\frac{x}{n}.$ La ecuación se convierte en $ay^2-y+1=0.$ Sus raíces deben ser reales, así que $0\lt a\le\tfrac14.$

Si las dos raíces son $\alpha\le\beta,$ su suma y producto son ambos $\frac{1}{a},$ de modo que $(\alpha-1)(\beta-1)=1.$ Escribamos $\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u$ con $u\ge1.$ Entonces $a=\dfrac{u}{(u+1)^2}.$ La raíz $x=n\alpha$ está en $[n,n+1)$ exactamente cuando $n\lt u,$ mientras que $n\beta$ nunca está allí para un entero positivo $n.$

El total positivo requerido asegura que $u\gt1.$ Sea $N$ el mayor entero positivo menor que $u,$ de modo que $N\lt u\le N+1.$ La suma de todas las soluciones es entonces $\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420.$ Como $\dfrac{u+1}{u}$ decrece con $u,$ estas desigualdades implican $\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2},$ lo que obliga a $N=28.$

Al sustituir, $406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420,$ así que $u=29.$ Por tanto, $a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}.$ En efecto, las soluciones positivas son $x=\dfrac{30n}{29}$ para $1\le n\le28,$ y suman $420.$ Entonces $p+q=29+900=929.$

Así, C es la respuesta correcta.

There are no negative solutions, while $x=0$ is always a solution. For $n\ge1$ and $x\in[n,n+1),$ put $y=\frac{x}{n}.$ The equation becomes $ay^2-y+1=0.$ Its roots must be real, so $0\lt a\le\tfrac14.$

If the two roots are $\alpha\le\beta,$ their sum and product are both $\frac{1}{a},$ so $(\alpha-1)(\beta-1)=1.$ Write $\alpha=1+\dfrac1u,\qquad \beta=1+u$ with $u\ge1.$ Then $a=\dfrac{u}{(u+1)^2}.$ The root $x=n\alpha$ lies in $[n,n+1)$ exactly when $n\lt u,$ while $n\beta$ never lies there for a positive integer $n.$

The required positive total ensures $u\gt1.$ Let $N$ be the largest positive integer less than $u,$ so $N\lt u\le N+1.$ The sum of all solutions is therefore $\dfrac{u+1}{u}\cdot\dfrac{N(N+1)}2=420.$ Because $\dfrac{u+1}{u}$ decreases with $u,$ these inequalities imply $\dfrac{N(N+2)}2\le420\lt\dfrac{(N+1)^2}{2},$ which forces $N=28.$

Substitution gives $406\cdot\dfrac{u+1}{u}=420,$ so $u=29.$ Hence $a=\dfrac{29}{30^2}=\dfrac{29}{900}.$ Indeed the positive solutions are $x=\dfrac{30n}{29}$ for $1\le n\le28,$ and their sum is $420.$ Therefore $p+q=29+900=929.$

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 25

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años