Question

Una abeja empieza a volar desde el punto $P_0.$ Vuela $1$ pulgada hacia el este hasta el punto $P_1.$ Para $j \ge 1,$ una vez que la abeja llega al punto $P_j,$ gira $30^\circ$ en sentido antihorario y luego vuela $j + 1$ pulgadas en línea recta hasta el punto $P_{j+1}.$ Cuando la abeja llega a $P_{2015}$ está exactamente a $a\sqrt b + c\sqrt d$ pulgadas de $P_0,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos y $b$ y $d$ no son divisibles por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto es $a + b + c + d$ ?

A bee starts flying from point $P_0.$ She flies $1$ inch due east to point $P_1.$ For $j \ge 1,$ once the bee reaches point $P_j,$ she turns $30^\circ$ counterclockwise and then flies $j + 1$ inches straight to point $P_{j+1}.$ When the bee reaches $P_{2015}$ she is exactly $a\sqrt b + c\sqrt d$ inches away from $P_0,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers and $b$ and $d$ are not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c + d?$

$2016$

$2024$

$2032$

$2040$

$2048$

Solución:

Coloca $P_0 = 0$ y sea $z = e^{\pi i/6},$ de modo que cada paso de longitud $k$ en dirección $z^{k-1}$ da $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.$ Sumar esto (una serie geométrica derivada) lleva a $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}$

Como $z^{12} = 1,$ tenemos $z^{2016} = 1$ y $z^{2015} = \tfrac1z,$ así que $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.$ Usando $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ y $|z| = 1,$ la distancia es $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.$

Por lo tanto $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $P_0 = 0$ and let $z = e^{\pi i/6},$ so each step of length $k$ in direction $z^{k-1}$ gives $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.$ Summing this (a differentiated geometric series) leads to $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}$

Since $z^{12} = 1,$ we have $z^{2016} = 1$ and $z^{2015} = \tfrac1z,$ so $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.$ Using $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ and $|z| = 1,$ the distance is $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.$

Hence $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años