Question

Sea $ABCD$ un paralelogramo, y sean $\overrightarrow{AA'},$ $\overrightarrow{BB'},$ $\overrightarrow{CC'}$ y $\overrightarrow{DD'}$ rayos paralelos en el espacio, situados en el mismo lado del plano determinado por $ABCD.$ Si $AA'=10,$ $BB'=8,$ $CC'=18,$ $DD'=22,$ y $M$ y $N$ son los puntos medios de $A'C'$ y $B'D',$ respectivamente, entonces $MN=$

Let $ABCD$ be a parallelogram and let $\overrightarrow{AA'},$ $\overrightarrow{BB'},$ $\overrightarrow{CC'},$ and $\overrightarrow{DD'}$ be parallel rays in space on the same side of the plane determined by $ABCD.$ If $AA'=10,$ $BB'=8,$ $CC'=18,$ $DD'=22,$ and $M$ and $N$ are the midpoints of $A'C'$ and $B'D',$ respectively, then $MN=$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:vectors three-dimensional geometry

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa vectores y la identidad del paralelogramo $A+C=B+D$

Use vectors and the parallelogram identity $A+C=B+D$

Pista grande:

Las componentes en el plano de los dos puntos medios coinciden; compara solo sus componentes en la dirección de los rayos

The planar components of the two midpoints coincide; compare only their ray-direction components

Solución:

Elige la dirección común de los rayos como un vector unitario $u.$ Entonces $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}$ Como $A+C=B+D$ en un paralelogramo, $N-M=u,$ por lo que $MN=1.$ La respuesta correcta es B.

Choose the common ray direction as a unit vector $u.$ Then $\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}$ Since $A+C=B+D$ for a parallelogram, $N-M=u,$ so $MN=1.$ The correct answer is B.

1997 AMC 12 Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años