Question

Se dan el triángulo $ABC$ y el punto $P$ en el mismo plano. El punto $P$ equidista de $A$ y $B,$ el ángulo $APB$ es el doble del ángulo $ACB,$ y $\overline{AC}$ interseca $\overline{BP}$ en el punto $D.$ Si $PB=3$ y $PD=2,$ entonces $AD\cdot CD=$

Triangle $ABC$ and point $P$ in the same plane are given. Point $P$ is equidistant from $A$ and $B,$ angle $APB$ is twice angle $ACB,$ and $\overline{AC}$ intersects $\overline{BP}$ at point $D.$ If $PB=3$ and $PD=2,$ then $AD\cdot CD=$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:circles potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Traza el círculo con centro $P$ que pasa por $A$ y $B$

Draw the circle centered at $P$ through $A$ and $B$

Pista grande:

La condición sobre el ángulo central sitúa a $C$ en ese círculo; aplica entonces el teorema de las cuerdas que se intersecan en $D$

The central-angle condition puts $C$ on that circle, so apply intersecting chords at $D$

Solución:

Como $PA=PB,$ se traza el círculo con centro $P$ que pasa por ambos puntos. La condición $\angle APB=2\angle ACB$ es la relación entre un ángulo central y uno inscrito, por lo que $C$ pertenece al mismo círculo. Sobre la recta $PB,$ la otra intersección con el círculo es $E$ , con $PE=3.$ La potencia de $D$ da $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Because $PA=PB,$ draw their circle with center $P.$ The condition $\angle APB=2\angle ACB$ is the central-inscribed angle relation, so $C$ lies on the same circle. Along line $PB,$ the other circle intersection is $E$ with $PE=3.$ Power of $D$ gives $\begin{aligned} AD\cdot CD&=DE\cdot DB\\ &=(3-2)(3+2)=5. \end{aligned}$ Thus A is correct.

1997 AMC 12 Problema 26

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años