Question

El número de divisores enteros positivos distintos de $(30)^4$ , excluyendo $1$ y $(30)^4$ , es

The number of distinct positive integral divisors of $(30)^4$ excluding $1$ and $(30)^4$ is

$100$

$125$

$123$

$30$

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos conteo de factores

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Factoriza $30^4$ como producto de potencias de $2,$ $3,$ y $5$

Factor $30^4$ into powers of $2,$ $3,$ and $5$

Pista grande:

Elige independientemente cada exponente primo de $0$ a $4,$ y luego elimina dos divisores

Choose each prime exponent independently from $0$ through $4,$ then remove two divisors

Solución:

Como $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ un divisor elige independientemente cada uno de los tres exponentes entre $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ Hay $5^3=125$ divisores. Al excluir $1$ y $30^4$ , quedan $125-2=123.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ a divisor independently chooses each of three exponents from $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ There are $5^3=125$ divisors. Excluding $1$ and $30^4$ leaves $125-2=123.$

Therefore, the correct answer is C.

1974 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años