Question

Una urna contiene canicas de cuatro colores: rojo, blanco, azul y verde. Al extraer cuatro canicas sin reemplazo, los siguientes sucesos tienen la misma probabilidad:

(a) seleccionar cuatro canicas rojas;

(b) seleccionar una canica blanca y tres rojas;

(c) seleccionar una canica blanca, una azul y dos rojas; y

(d) seleccionar una canica de cada color.

¿Cuál es el menor número de canicas que satisface la condición dada?

An urn contains marbles of four colors: red, white, blue, and green. When four marbles are drawn without replacement, the following events are equally likely:

(a) the selection of four red marbles;

(b) the selection of one white and three red marbles;

(c) the selection of one white, one blue, and two red marbles; and

(d) the selection of one marble of each color.

What is the smallest number of marbles satisfying the given condition?

$19$

$21$

$46$

$69$

más de $69$

more than $69$

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones Diophantine equations

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Sean $r,w,b,g$ las cantidades de los cuatro colores e iguala los conteos combinatorios de los cuatro sucesos

Let the four color counts be $r,w,b,g$ and equate the combination counts for the four events

Pista grande:

Los cocientes sucesivos determinan $w,b,g$ en función de $r$ ; luego halla el menor $r$ que hace enteros a los tres

Successive ratios determine $w,b,g$ in terms of $r$ ; then find the smallest $r$ making all three integers

Solución:

Las probabilidades iguales tienen el mismo denominador común, así que sus números de selecciones favorables satisfacen $\binom r4=w\binom r3$ $=wb\binom r2=wbgr.$ Los cocientes sucesivos dan $w=\frac{r-3}{4},$ $b=\frac{r-2}{3},$ y $g=\frac{r-1}{2}.$ El menor $r\ge4$ que hace enteros positivos a los tres es $r=11.$ Entonces $(w,b,g)=(2,3,5),$ y hay $11+2+3+5=21$ canicas. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal probabilities have the same common denominator, so their favorable selection counts satisfy $\binom r4=w\binom r3$ $=wb\binom r2=wbgr.$ Successive ratios give $w=\frac{r-3}{4},$ $b=\frac{r-2}{3},$ and $g=\frac{r-1}{2}.$ The least $r\ge4$ making all three positive integers is $r=11.$ Then $(w,b,g)=(2,3,5),$ for $11+2+3+5=21$ marbles. Thus the correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 26

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años