Question

Supón que $p$ y $q$ son números positivos tales que $\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}$ ¿Cuál es el valor de $\frac{q}{p}$ ?

Suppose that $p$ and $q$ are positive numbers for which $\begin{aligned} \log_9(p)&=\log_{12}(q)\\ &=\log_{16}(p+q). \end{aligned}$ What is the value of $\frac{q}{p}?$

$\frac43$

$\frac12(1+\sqrt3)$

$\frac85$

$\frac12(1+\sqrt5)$

$\frac{16}{9}$

Respuesta: D

Conceptos:logarithms exponential equations quadratic equations

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Llama $t$ al valor común de los logaritmos

Call the common logarithm value $t$

Pista grande:

Si $r=\frac{q}{p},$ compara $(\frac{16}{9})^t$ con $(\frac{12}{9})^t$

If $r=\frac{q}{p},$ compare $(\frac{16}{9})^t$ with $(\frac{12}{9})^t$

Solución:

Sea $t$ el valor común. Entonces $p=9^t,\ q=12^t,$ y $p+q=16^t.$ Sea $r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.$ Al dividir la última ecuación entre $p$ , se obtiene $\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}$ Como $r>0,$ se tiene $r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common value be $t.$ Then $p=9^t,\ q=12^t,$ and $p+q=16^t.$ Put $r=\frac{q}{p}=(\frac{4}{3})^t.$ Dividing the last equation by $p$ gives $\begin{aligned} 1+r&=(\frac{16}{9})^t\\ &=((\frac{4}{3})^t)^2=r^2. \end{aligned}$ Since $r>0,$ $r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$

Thus the correct answer is D.

1988 AMC 12 Problema 26

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años