Question

Forma I. Considera los enunciados

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}$

donde $p,$ $q,$ $r$ son proposiciones. ¿Cuántos de ellos implican la verdad de $(p\to q)\to r$ ?

Forma II. Considera los enunciados $(1)$ $p$ y $r$ son verdaderos y $q$ es falso, $(2)$ $r$ es verdadero y $p$ y $q$ son falsos, $(3)$ $p$ es verdadero y $q$ y $r$ son falsos, $(4)$ $q$ y $r$ son verdaderos y $p$ es falso. ¿Cuántos de ellos implican la verdad del enunciado « $r$ está implicado por la afirmación de que $p$ implica $q$ »?

Form I. Consider the statements

$\begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}$

where $p,$ $q,$ $r$ are propositions. How many of these imply the truth of $(p\to q)\to r?$

Form II. Consider the statements $(1)$ $p$ and $r$ are true and $q$ is false, $(2)$ $r$ is true and $p$ and $q$ are false, $(3)$ $p$ is true and $q$ and $r$ are false, $(4)$ $q$ and $r$ are true and $p$ is false. How many of these imply the truth of the statement “ $r$ is implied by the statement that $p$ implies $q$ ”?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Una implicación es falsa solo cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso

An implication is false only when its antecedent is true and its consequent is false

Pista grande:

Evalúa primero $p\to q$ en cada una de las cuatro asignaciones

Evaluate $p\to q$ first in each of the four assignments

Solución:

En los casos $(1)$ y $(3),$ la proposición $p\to q$ es falsa, así que la implicación exterior es verdadera. En los casos $(2)$ y $(4),$ la proposición $p\to q$ es verdadera, pero $r$ también es verdadera, por lo que la implicación exterior vuelve a ser verdadera. Los cuatro enunciados la implican.

Así, la respuesta correcta es E.

In cases $(1)$ and $(3),$ $p\to q$ is false, so the outer implication is true. In cases $(2)$ and $(4),$ $p\to q$ is true, but $r$ is also true, so the outer implication is again true. All four statements imply it.

Thus, the correct answer is E.

1963 AMC 12 Problema 26

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años