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1984 AMC 12 Problema 26

Intenta el Problema 26 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

26.

En el triángulo obtusángulo ABC,ABC, AM=MB,AM=MB, MD⊥BC,MD\perp BC, y EC⊥BC.EC\perp BC. Si el área de △ABC\triangle ABC es 24,24, entonces el área de △BED\triangle BED es

In the obtuse triangle ABC,ABC, AM=MB,AM=MB, MD⊥BC,MD\perp BC, EC⊥BC.EC\perp BC. If the area of △ABC\triangle ABC is 24,24, then the area of △BED\triangle BED is

99

1212

1515

1818

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B
Conceptos:área del triángulopunto mediodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1960
Pista pequeña:

Traza el segmento MCMC y compara △DMC\triangle DMC con △DME\triangle DME

Draw segment MCMC and compare △DMC\triangle DMC with △DME\triangle DME

Pista grande:

Esos triángulos tienen la misma base MDMD y alturas iguales; además, MM es el punto medio de ABAB

Those triangles have the same base MDMD and equal altitudes; also MM is the midpoint of ABAB

Solución:

Traza MC.MC. Como EC∥MD,EC\parallel MD, los puntos EE y CC tienen la misma distancia perpendicular a MD,MD, por lo que [DME]=[DMC].[DME]=[DMC]. Entonces [BED]=[BMD]+[DME]=[BMD]+[DMC]=[BMC]. \begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned} Como MM es el punto medio de AB,AB, el triángulo BMCBMC tiene la mitad del área de ABC.ABC. Por consiguiente, [BED]=12.[BED]=12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Draw MC.MC. Since EC∥MD,EC\parallel MD, points EE and CC have equal perpendicular distances from MD,MD, so [DME]=[DMC].[DME]=[DMC]. Therefore [BED]=[BMD]+[DME]=[BMD]+[DMC]=[BMC]. \begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned} Because MM is the midpoint of AB,AB, triangle BMCBMC has half the area of ABC.ABC. Thus [BED]=12.[BED]=12.

Therefore, the correct answer is B.

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El Problema 26 en otros años

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