Question

Halla el mayor valor positivo que alcanza la función $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}$ donde $x$ es un número real.

Find the largest positive value attained by the function $\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{8x-x^2}\\ &\quad-\sqrt{14x-x^2-48}, \end{aligned}$ $x$ a real number.

$\sqrt7-1$

$3$

$2\sqrt3$

$4$

$\sqrt{55}-\sqrt5$

Respuesta: C

Conceptos:radical function domain maximizing expression

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Factoriza ambos radicandos usando el factor común $8-x$

Factor both radicands using the common factor $8-x$

Pista grande:

En el dominio $6\le x\le8,$ racionaliza $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$

On the domain $6\le x\le8,$ rationalize $\sqrt{8-x}(\sqrt x-\sqrt{x-6})$

Solución:

Ambos radicales son reales exactamente cuando $6\le x\le8.$ Al factorizar y racionalizar, $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}$ En este intervalo, el numerador disminuye mientras el denominador aumenta, por lo que el máximo ocurre en $x=6.$ Su valor es $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Both radicals are real exactly when $6\le x\le8.$ Factoring and rationalizing, $\begin{aligned} f(x) &=\sqrt{8-x}\bigl(\sqrt x-\sqrt{x-6}\bigr)\\ &=\frac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt x+\sqrt{x-6}}. \end{aligned}$ On this interval the numerator decreases while the denominator increases, so the maximum occurs at $x=6.$ Its value is $f(6)=\sqrt{12}=2\sqrt3.$ Thus the correct answer is C.

1993 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años