Question

Sea $S$ el conjunto de puntos sobre los rayos que forman los lados de un ángulo de $120^\circ$ , y sea $P$ un punto fijo dentro del ángulo y sobre su bisectriz. Considera todos los triángulos equiláteros distintos $PQR$ con $Q$ y $R$ en $S.$ (Los puntos $Q$ y $R$ pueden estar sobre el mismo rayo, e intercambiar los nombres de $Q$ y $R$ no crea un triángulo distinto.) Hay

Let $S$ be the set of points on the rays forming the sides of a $120^\circ$ angle, and let $P$ be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles $PQR$ with $Q$ and $R$ in $S.$ (Points $Q$ and $R$ may be on the same ray, and switching the names of $Q$ and $R$ does not create a distinct triangle.) There are

exactamente $2$ de estos triángulos.

exactly $2$ such triangles.

exactamente $3$ de estos triángulos.

exactly $3$ such triangles.

exactamente $7$ de estos triángulos.

exactly $7$ such triangles.

exactamente $15$ de estos triángulos.

exactly $15$ such triangles.

más de $15$ de estos triángulos.

more than $15$ such triangles.

Respuesta: E

Conceptos:equilateral triangles congruence infinite family

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Llama $O$ al vértice del ángulo y elige $A$ sobre un rayo de modo que $\triangle AOP$ sea equilátero

Call the angle’s vertex $O$ and choose $A$ on one ray so that $\triangle AOP$ is equilateral

Pista grande:

Varía continuamente un punto $Q$ sobre $\overline{AO}$ y construye el punto correspondiente $R$ sobre el otro rayo

Vary a point $Q$ continuously on $\overline{AO}$ and construct a matching point $R$ on the other ray

Solución:

Sea $O$ el vértice. Elige $A$ sobre un rayo de modo que $OA=OP;$ como $OP$ biseca el ángulo de $120^\circ$ , $\triangle AOP$ es equilátero. Para cualquier $Q$ en $\overline{AO},$ elige $R$ en el otro rayo de modo que $OR=AQ.$ Entonces $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ por LAL. Por consiguiente, $PQ=PR$ y $\angle QPR=\angle APO=60^\circ,$ de modo que $\triangle PQR$ es equilátero. Un continuo de elecciones de $Q$ produce triángulos distintos, así que ciertamente hay más de $15.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the vertex. Choose $A$ on one ray so that $OA=OP;$ because $OP$ bisects the $120^\circ$ angle, $\triangle AOP$ is equilateral. For any $Q$ on $\overline{AO},$ choose $R$ on the other ray with $OR=AQ.$ Then $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ by SAS. Consequently $PQ=PR$ and $\angle QPR=\angle APO=60^\circ,$ so $\triangle PQR$ is equilateral. Continuously many choices of $Q$ give distinct triangles, hence certainly more than $15.$ Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años