Question

Un terreno circular de césped de $12$ pies de diámetro es atravesado por un sendero recto de grava de $3$ pies de ancho, uno de cuyos bordes pasa por el centro del terreno. El número de pies cuadrados de césped que quedan es

A circular grass plot $12$ feet in diameter is cut by a straight gravel path $3$ feet wide, one edge of which passes through the center of the plot. The number of square feet in the remaining grass area is

$36\pi-34$

$30\pi-15$

$36\pi-33$

$35\pi-9\sqrt3$

$30\pi-9\sqrt3$

Respuesta: E

Conceptos:área del círculo sector circular descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Biseca el sendero con el diámetro perpendicular del terreno circular

Bisect the path by the perpendicular diameter of the circular plot

Pista grande:

Cada mitad del sendero es un sector de $30^\circ$ junto con un triángulo de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

Each half of the path is a $30^\circ$ sector together with a $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Solución:

El terreno tiene radio $6.$ En el otro borde del sendero, la distancia perpendicular desde el centro es $3,$ así que el radio hasta un punto de intersección forma un ángulo de $30^\circ$ con el borde que pasa por el centro. La mitad del sendero consta de un sector de $30^\circ$ y radio $6$ , junto con un triángulo rectángulo de catetos $3$ y $3\sqrt3.$ Su área es $\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}$ Así, el sendero completo tiene área $6\pi+9\sqrt3,$ y el área de césped restante es $36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The plot has radius $6.$ At the path’s other edge, the perpendicular distance from the center is $3,$ so the radius to an intersection point makes a $30^\circ$ angle with the edge through the center. Half of the path consists of a $30^\circ$ sector of radius $6$ and a right triangle with legs $3$ and $3\sqrt3.$ Its area is $\begin{aligned} &\frac{30}{360}\pi(6^2) +\frac12(3)(3\sqrt3)\\ &\qquad=3\pi+\frac{9\sqrt3}{2}. \end{aligned}$ Thus the whole path has area $6\pi+9\sqrt3,$ and the remaining grass area is $36\pi-(6\pi+9\sqrt3) =30\pi-9\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

1973 AMC 12 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años