Question

Para todo número impar $p\gt1$ se cumple:

For every odd number $p\gt1$ we have:

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ es divisible entre $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ es divisible entre $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ es divisible entre $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ es divisible entre $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ es divisible entre $p-1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-1$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad aritmética modular exponente

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Trabaja módulo $p-2$ para la opción (A)

Work modulo $p-2$ for choice (A)

Pista grande:

Como $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ toda potencia positiva tiene el mismo residuo

Since $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ every positive power has the same residue

Solución:

Como $p\gt1$ es impar, $n=\frac{p-1}{2}$ es un entero positivo. Módulo $p-2,$ tenemos $p-1\equiv1.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Así, la opción (A) siempre se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $p\gt1$ is odd, $n=\frac{p-1}{2}$ is a positive integer. Modulo $p-2,$ we have $p-1\equiv1.$ Therefore $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años